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數學

向量大小與方向計算機（2D / 3D）

輸入 2D（x, y）或 3D（x, y, z）向量嘅分量，即時計算向量大小 |v|、單位向量 v̂ 以及方向角。2D 採用 atan2 嘅 (−180°, 180°] 標準範圍，3D 採用相對 +x／+y／+z 三條正軸嘅方向角（direction cosines）。

Magnitude |v|

5

|⟨3, 4⟩| = 5

Unit vector v̂

⟨0.6, 0.8⟩

Direction angle from +x axis θ

53.13°

2D: |v| = √(x² + y²); θ = atan2(y, x), range (−180°, 180°], measured counter-clockwise from the +x axis.

Formula

2D：|v| = √(x² + y²) θ = atan2(y, x) 3D：|v| = √(x² + y² + z²) αₓ = acos(x / |v|)，αᵧ = acos(y / |v|)，α_z = acos(z / |v|) v̂ = (x, y, z) / |v|

Frequently asked

向量大小同向量長度有咩分別？

冇分別。向量大小（magnitude）、向量長度（length）、向量模（modulus）、歐幾里德範數（Euclidean norm / L² norm）係同一個量嘅唔同講法，全部都係 |v| = √(Σxᵢ²)。喺幾何上佢代表由原點去到向量終點嘅直線距離；喺物理上代表力、速度、位移嘅「強度」（不理方向）。

單位向量點解咁有用？

單位向量 v̂ = v / |v| 嘅大小恆等於 1，所以可以「淨係攜帶方向資訊」。喺物理同電腦圖學常見用途：表示方向（指向、視線、表面法線）、分解力（例如將斜面上嘅重力沿法向／切向拆開）、構造任意大小嘅向量（u = k · v̂ 即係沿 v̂ 方向、大小為 k 嘅向量）、計算夾角（u · v = |u||v|cosθ，知道單位向量就可以直接讀出 cosθ）。

點解 2D 用 atan2 而唔用 atan(y/x)？

atan(y/x) 嘅輸出範圍只係 (−90°, 90°)，丟失左象限資訊：例如 ⟨1, 1⟩ 同 ⟨−1, −1⟩ 嘅 y/x 都係 1，但實際方向相差 180°。atan2(y, x) 接受兩個獨立分量，可以正確分辨四個象限，輸出範圍為 (−180°, 180°]，並且喺 x = 0 時亦有定義（傳統 atan 會除以零）。所以幾乎所有現代程式語言、CAD、遊戲引擎、機械人控制都用 atan2。

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