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∑
數學

等差數列計算機

等差數列（arithmetic progression）每項之間相差固定值 d。輸入首項 a、公差 d 同項數 n，即時得出第 n 項 aₙ、前 n 項之和 Sₙ、平均值同首 30 項預覽。常用於 HKDSE／IGCSE／A-Level 數學、複利近似、線性折舊、儲蓄階梯等情境。

第 n 項 aₙ

100

前 n 項之和 Sₙ

5,050

平均值 a̅

50.5

頭 30 項

至多顯示頭 30 項，後面項可由公式繼續推算。

    aₙ = a + (n − 1) · d Sₙ = n/2 · (2a + (n − 1) · d) = n · (a + aₙ) / 2

    aₙ = a + (n − 1) · d   Sₙ = n/2 · (2a + (n − 1) · d)

    等差數列每項相差固定值 d。當 d > 0 為遞增、d < 0 為遞減、d = 0 為常數數列。

    公式

    aₙ = a + (n − 1) · d Sₙ = n/2 · (2a + (n − 1) · d) = n · (a + aₙ) / 2 Mean a̅ = Sₙ / n = (a + aₙ) / 2

    常見問題

    等差數列同等比數列點分？

    等差（arithmetic）每項加固定數值 d — 例如 2, 5, 8, 11 …（公差 +3）。等比（geometric）每項乘固定比例 r — 例如 2, 6, 18, 54 …（公比 ×3）。等差用嚟描述線性增長（每月加薪定額、月供等額金）；等比用嚟描述指數增長（複利、人口翻倍）。前 n 項和公式：等差用 Sₙ = n/2 · (2a + (n − 1)d)；等比用 Sₙ = a · (1 − rⁿ) / (1 − r)。

    為何前 n 項和係 n/2 · (首項 + 末項)？

    高斯小學時把 1 + 2 + 3 + … + 100 倒序再相加：(1 + 100) + (2 + 99) + … = 共 50 對，每對都係 101，即 50 · 101 = 5050。一般化：將 Sₙ 寫兩次（一次順序、一次倒序）相加，每對都等於 a + aₙ，共 n 對，總和 2Sₙ = n · (a + aₙ)，所以 Sₙ = n · (a + aₙ) / 2。再用 aₙ = a + (n − 1)d 代入，就得出 Sₙ = n/2 · (2a + (n − 1)d)。

    只知首項、末項同總和點求項數 n？

    由 Sₙ = n · (a + aₙ) / 2 反推：n = 2 · Sₙ / (a + aₙ)。例如 a = 1、aₙ = 100、Sₙ = 5050 → n = 2 · 5050 / 101 = 100。如果你淨係知 a、d 同 aₙ，可用 n = (aₙ − a) / d + 1。

    可以用嚟計每月儲蓄 ladder 嗎？

    可以，前提係每月增額固定（線性增長，例如每月由 HK$1,000 加 HK$200，第 12 個月變 HK$3,200）。輸入 a = 1000、d = 200、n = 12 → Sₙ = 12 · (1000 + 3200) / 2 = HK$25,200。但若加額本身按複利或百分比增長（e.g. 每月增 5%），就應該用等比數列／複利計算機，而唔係等差。

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