向量叉積計算機（Cross Product, 3D）
輸入兩個三維向量 a = ⟨a_x, a_y, a_z⟩、b = ⟨b_x, b_y, b_z⟩，工具按公式 a × b = ⟨a_y b_z − a_z b_y, a_z b_x − a_x b_z, a_x b_y − a_y b_x⟩ 計算叉積，再同步報出結果向量嘅長度 |a × b| = |a|·|b|·sin θ、平行四邊形面積、三角形面積（½·|a × b|）同夾角 θ。物理力矩、3D 圖形面法線、計算幾何嘅 CCW 測試都用同一套公式 — 一條算式三件事一齊計。
Fill in every component of both vectors.
Cross product a × b
⟨0, 0, 1⟩
—
|a × b|
1
sin θ
1
Angle θ
90°
Parallelogram area
1
Triangle area (½·|a × b|)
0.5
Formula: a × b = ⟨a_y b_z − a_z b_y, a_z b_x − a_x b_z, a_x b_y − a_y b_x⟩; |a × b| = |a|·|b|·sin θ equals the parallelogram area. The direction follows the right-hand rule. The URL remembers ax, ay, az, bx, by, bz.
Formula
a × b = ⟨a_y b_z − a_z b_y, a_z b_x − a_x b_z, a_x b_y − a_y b_x⟩ |a × b| = |a| · |b| · sin θ ⇒ sin θ = |a × b| / (|a|·|b|) 平行四邊形面積 = |a × b| 三角形面積 = ½·|a × b|
- · 叉積只喺三維（或七維）有定義；2D 嘅「叉積」係 a_x b_y − a_y b_x，純量，正負代表 b 喺 a 嘅 CCW 抑或 CW 方向。
- · 反交換：a × b = −(b × a)。所以順序唔可以掉轉。
- · 結果方向用右手定則：四指由 a 屈向 b，拇指方向就係 a × b 嘅方向。
- · 若 a × b = 0 而兩個向量都唔係零，代表佢哋共線（平行或反向）— 都唔能定義唯一垂直方向。
- · 物理應用：力矩 τ = r × F、磁力 F = q v × B、角動量 L = r × p — 全部都係軸向量 (axial vector)，用叉積。
- · 幾何身份：|a × b|² + (a · b)² = |a|² · |b|² （Lagrange 恆等式），可以用嚟驗算結果。
Frequently asked
叉積同點積有咩分別？
兩者都係兩個向量嘅運算，但輸出唔同：點積 a · b 係純量（一個數），用 cos θ；叉積 a × b 係向量（喺 3D），用 sin θ，方向垂直於 a 同 b。點積測「同向程度」（θ = 0° 最大），叉積測「垂直程度」（θ = 90° 最大）。例子：判斷兩向量正交用 a · b = 0；計算面法線、力矩用 a × b。同時兩者滿足 Lagrange 恆等式 |a × b|² + (a · b)² = |a|² · |b|²。
點解叉積只喺 3D 有意義？
叉積要喺一個有兩個向量輸入嘅情況下，輸出一個垂直兩者嘅唯一向量（除咗符號）。喺 n 維空間，垂直於兩條向量嘅「正交補空間」維度係 n − 2 — 只有 n = 3 時得 1 維，所以叉積方向先唯一。其他維度有相關推廣：4D 以上可以用 wedge product (a ∧ b)，輸出係 2-form（雙向量），唔係 1 維向量。例外係 7D 都有真正嘅向量叉積，但係好特殊嘅代數結構，日常不會用到。
點樣用叉積搵 3D 三角形面積？
俾三個頂點 P、Q、R，先計兩條邊向量 u = Q − P、v = R − P，三角形面積 = ½·|u × v|。本工具直接俾你 ½·|a × b|，所以將 u 同 v 入到 A、B 欄即得三角形面積。海倫公式都得，但用叉積免咗開根號（除咗最後嗰個）同搵半周長，亦同時得到法向量方向（俾後續搵法平面、計入射角等之用）。
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