至少一次機率計算機（1 − (1 − p)ⁿ）
輸入單次事件機率 p 同重複次數 n（兩者都假設獨立同分布），工具用補集法 P(至少一次) = 1 − (1 − p)ⁿ 一次過計：(1) 至少出現一次嘅機率；(2) 一次都唔出現嘅機率；(3) 期望成功次數 E[X] = np；(4) 反向問題 — 要達到目標機率 T 所需嘅最少試驗次數 ⌈ln(1 − T) / ln(1 − p)⌉。覆蓋抽獎、Gacha、骰仔、A/B 測試、安全冗餘設計等實用情境，避免「直接乘」嘅常見錯誤。
Common examples (click to load)
Enter a valid probability (0–100% or 0–1) and a non-negative integer number of trials.
Results
P(at least one)
—
—
P(none in n)
—
Expected successes E[X]
—
= n × p by linearity of expectation. "Expected 1 success" is not the same as "guaranteed at least one".
Reverse: how many trials to reach a target probability?
Smallest n*
—
Formula P = 1 − (1 − p)ⁿ, assuming the n trials are i.i.d. For very small p × very large n, the tool uses expm1 / log1p to stay numerically stable.
Formula
P(至少一次) = 1 − (1 − p)ⁿ P(一次都冇) = (1 − p)ⁿ E[成功次數] = n · p 達到目標 T 所需嘅 n* = ⌈ln(1 − T) / ln(1 − p)⌉
- · 常見直覺錯誤：人會用 n × p 當「至少一次」嘅機率，但 n × p 係 E[X]（期望次數），唔係機率。當 p 細而 n 中等（np ≈ 1）時，P(至少一次) ≈ 1 − e⁻¹ ≈ 63.2%，唔係 100%。
- · 對 n × p ≪ 1 嘅稀有事件，P(至少一次) ≈ np 係好近似（Poisson 近似）。例如 p = 0.001, n = 10 → np = 0.01，P(≥1) = 0.00996，差距可以忽略。
- · 對 n × p ≫ 1 嘅常見事件，P(至少一次) 飽和向 1，但要達到 99%、99.9%、99.99% 所需嘅 n 增加得好慢（log 級數）— 例如 p = 0.5 要 99% 只需 n = 7。
- · 當 p 極細、n 極大（如 p = 1e⁻⁹、n = 1e⁶），naïve 計算 1 − (1 − p)ⁿ 會因為浮點精度損失而報 0。工具改用 −expm1(n · log1p(−p)) 嘅形式，保證至小數第十二位仍然準確。
- · 反算公式 n* = ⌈ln(1 − T) / ln(1 − p)⌉ 來自將 P 反解：1 − (1 − p)ⁿ ≥ T ⇔ n ≥ ln(1 − T)/ln(1 − p)。當 p < 1，T = 1 永遠唔到（n 趨向無限），工具會明確報「無法達到」。
- · 參考：Sheldon Ross《A First Course in Probability》第 3.4 節（獨立事件同補集法則）；Grinstead & Snell《Introduction to Probability》第 4.1 節。
Frequently asked
Gacha 1% 機率抽 100 次，咁係咪一定抽到？
唔係 — 真正嘅 P(至少一次) = 1 − 0.99¹⁰⁰ ≈ 63.4%，仲有 36.6% 嘅機會 100 抽都 0 個。原因係期望值 E[X] = 100 × 0.01 = 1.0（平均「一支」），但平均 1 唔等於「100% 至少 1」— 機率分佈下，有人會 0、1、2、3 支甚至更多。要去到 99% 都至少有 1 支，需要約 459 抽（⌈ln(0.01) / ln(0.99)⌉ = 459）。所以遊戲嘅「保底機制」（pity）係彌補呢個運氣風險，唔係多餘嘢。
咁如果我買兩注六合彩，中頭獎嘅機率係咪兩倍？
對於極稀有事件（六合彩中頭獎大約 1 in 13.98M），「兩倍」係非常準確嘅近似 — 因為 p ≈ 7.15 × 10⁻⁸，n = 2，所以 P(中至少一次) = 1 − (1 − p)² ≈ 2p − p² ≈ 2p，差別只係 5 × 10⁻¹⁵，肉眼睇唔到。但係如果 n 大到 np 接近 1（例如連買 13 980 000 期），「n × p」就 over-estimate — 真實 P 接近 1 − e⁻¹ ≈ 63.2%，唔係 100%。直覺嘅「乘以 n」喺 n × p ≪ 1 時得（Poisson 近似），喺 n × p 接近 1 時 break down。
23 個人入面有兩個人同月同日生日嘅機率 50%（生日悖論），同呢條式有冇關？
原本嘅「生日悖論」係問「23 人中有任何一對撞生日」嘅機率（≈ 50.73%），佢用「全部 23 人都唔同日生日」嘅補集計，並非 1 − (1 − p)ⁿ — 因為個個比較對之間並非完全獨立。但有一個密切相關嘅問法：「23 個人中，有人同我（一個特定嘅人）同生日」嘅機率 — 呢個就係 1 − (1 − 1/365)²² ≈ 5.85%（用 22 因為我自己唔計），可以直接用呢個工具計（p = 1/365 ≈ 0.27%，n = 22）。兩個問題嘅答案差成 8 倍 — 一個好提醒「至少一次」嘅獨立假設要嚴格成立。
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正多邊形計算機（面積、內角、半徑）
輸入正 n 邊形嘅邊數 n 同邊長 s，工具一次計算內角、外角、內切圓半徑、外接圓半徑、面積同周長，覆蓋三角形、正方形、五邊形、六邊形以至高邊數。
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RMSE / MAE 預測誤差計算機
輸入一組實際值同對應預測值，工具同時計算 MAE、MSE、RMSE、R² 同 MAPE，用於機器學習回歸評估、銷售預測同實驗對比，仲會講解三個指標嘅敏感度差異。
二元一次方程組求解（Cramer's Rule）
輸入 ax + by = e 同 cx + dy = f 嘅 6 個係數，工具用 Cramer 法則計算 x, y、行列式 D 同分類情況（唯一解 / 無解 / 無窮多解），同步顯示步驟方便檢查作業。