線性插值計算機（內插／外推）
輸入兩個已知點 P₁(x₁, y₁) 同 P₂(x₂, y₂)，再輸入要估算嘅 x 值，即時用線性公式 y = y₁ + (x − x₁) · (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) 求 y，並同時顯示斜率、y 截距同直線方程。當 x 落喺 [x₁, x₂] 範圍內，工具會標示為「內插」；落喺範圍外則標示為「外推」並提醒準確度可能下降。常見用途：查表（蒸汽表、利率表、tax bracket 之間）、感應器校準、影像／動畫補幀（lerp）、由兩個樣本估算第三個值。
請輸入有效嘅數值，並確保 x₁ ≠ x₂（兩點唔可以喺同一條垂直線上）。
估算 y 值
50
斜率 m
10
y 截距 b
0
直線方程
y = 10x
結果四捨五入至 6 位小數顯示，URL 保存原始輸入。
公式
y = y₁ + (x − x₁) · (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)；等同 y = m·x + b，m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)，b = y₁ − m·x₁
- · 線性插值假設兩個已知點之間嘅關係係一條直線；如果原本嘅函數明顯彎曲（例如指數、對數、三角函數），插值會引入誤差。對於小區間呢個誤差通常可以接受，呢個亦係查表法嘅基礎。（參考：Burden & Faires《Numerical Analysis》第 9 版 §3.1）
- · 當 x 落喺 [x₁, x₂] 之間，叫做「內插」(interpolation)；落喺之外，叫做「外推」(extrapolation) — 外推愈遠誤差通常愈大，因為直線假設可能已經唔成立。
- · 當 x₁ = x₂（兩個點 x 坐標相同），對應 y 值唔唯一，無法畫一條從 P₁ 到 P₂ 嘅函數；本工具會提示輸入錯誤而唔會輸出 NaN。
- · 兩個點次序唔影響結果：(x₁, y₁) 同 (x₂, y₂) 對換，求出嘅 y 值、斜率、y 截距完全一樣。
- · 電腦圖像、遊戲、動畫所講嘅 "lerp(a, b, t)" 就係呢條公式嘅特殊化：x₁ = 0、x₂ = 1、x = t，於是 y = a + t·(b − a)，t ∈ [0, 1] 為內插，t 之外為外推。
- · 工程查表（蒸汽表、ASHRAE 表、稅率 bracket 之間）、感應器多點校準、估算測量點之間嘅中間值 — 都依賴呢條公式作為一階近似。
- · 顯示結果四捨五入至 6 位小數方便閱讀，URL 內保存原始輸入，所以分享連結時可以重現完全相同嘅輸入。
常見問題
線性插值同外推有咩分別？
兩個都用同一條公式 y = y₁ + (x − x₁) · (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)，分別只係 x 嘅位置：當 x 落喺已知兩點之間（即 min(x₁,x₂) ≤ x ≤ max(x₁,x₂)）就叫內插，比較可靠；當 x 喺呢個範圍以外就叫外推，因為直線假設可能唔再成立，距離愈遠誤差通常愈大。本工具會明確標示你嘅 x 屬於邊一種情況。
幾時應該用線性插值，幾時要用更高階方法？
一般如果兩個已知點之間嘅 x 跨度細，並且原函數變化平滑，線性插值嘅誤差就會足夠細，工程查表、感應器校準、稅率表之間估值等等都係呢個情況。如果跨度大、原函數明顯彎曲（例如指數衰減、正弦波）、或者你要積分／微分插值結果，就應該考慮多項式插值（Lagrange、Newton 差商）、樣條插值（cubic spline）或者非線性擬合，誤差會細好多。
電腦圖像／遊戲嘅 "lerp" 同呢個有咩關係？
一樣嘅嘢，只係改咗變量名。"lerp(a, b, t)" 就係 x₁ = 0、y₁ = a、x₂ = 1、y₂ = b、x = t 嘅特殊情況，公式變成 y = a + t · (b − a)。t = 0 對應 a、t = 1 對應 b，0 < t < 1 為內插，t < 0 或 t > 1 為外推（有時用嚟做反彈動畫或者 overshoot 效果）。如果你嘅輸入本來就係 0/1 形式，可以直接用呢個工具，效果完全一樣。
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