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數學

平均數信賴區間 (CI) 計算機

輸入樣本平均 x̄、樣本標準差 s、樣本大小 n 同信心水平（例如 95%），計算母體平均 μ 嘅雙邊信賴區間 — 包埋臨界值 t* 或 z*、標準誤 SE = s/√n、誤差範圍 ME、自由度 df，以及最終嘅 [下限, 上限] 區間。

分布 分布 預設用 t 分布，因為樣本標準差 s 與母體 σ 通常唔同。

95% 母體平均 μ 信賴區間

[46.70, 53.30]

CI = 50 ± 3.30

— x̄ —

標準誤 SE

—

SE = s ÷ √n

t*

—

雙邊臨界值（t* 或 z*）。

自由度 df

—

df = n − 1（t 分布專用）。

解讀：如果重覆抽樣多次，當中約 95%（按所選水平）構造嘅區間會覆蓋真實母體平均 μ。並非「μ 有 95% 機率落入呢條區間」。

公式

CI = x̄ ± t*·(s / √n), df = n − 1 z 分布版本（已知母體 σ）：CI = x̄ ± z*·(σ / √n) t*、z* 為對應信心水平嘅雙邊臨界值（例：95% → t*_{df, 0.975}）

常見問題

應該用 t 分布定 z 分布？

預設用 t 分布。因為現實中你拎到嘅係樣本標準差 s，唔係母體 σ — s 本身有抽樣誤差，所以要用較闊嘅 t 分布補償。只有當你「真係知道」母體 σ（極少見：通常係出廠儀器規格、長期已建立嘅實驗常數），先用 z。當 n 大過 30 之後，兩者差別細到接近可以忽略；當 n = 10 時，t*_{9, 0.975} ≈ 2.262 已經比 z*_{0.975} ≈ 1.960 闊咗 15%。

95% 信賴區間嘅正確解讀係咩？

正確解讀：「如果我用同一條公式重覆抽樣 100 次並構造 100 條區間，當中約 95 條會覆蓋真正嘅母體平均 μ。」不正確嘅講法：「呢條特定區間有 95% 機率包含 μ」，因為 μ 係固定數，要麼喺裡面、要麼喺外面，冇所謂機率。「95%」係描述構造區間嘅程序，唔係描述呢一條特定區間。如果想表達後者，要用貝氏統計嘅「可信區間 (credible interval)」。

想將誤差範圍減半，要幾倍樣本？

大約四倍。因為 ME = t*·s/√n，當 t* 同 s 固定，ME 隨 1/√n 變化。要將 ME 減半，√n 要加倍，即 n 要 ×4。同理，將 ME 縮到原來嘅 1/3，需要 n ×9。呢個就係統計學嘅「邊際遞減」 — 用 100 個樣本得到嘅精度，要進一步翻倍精度就要 400 個，再翻倍要 1,600 個。實務上反而調節「樣本品質」（減少測量誤差、避免偏抽樣）通常比盲目加 n 更有效。

樣本量太細（n = 2 或 3）仲可以用呢個方法嗎？

數學上可以（df = n − 1 ≥ 1，t 分布有定義），但區間會非常闊：n = 2 時 t*_{1, 0.975} ≈ 12.7，n = 3 時 ≈ 4.30。意思係即使你嘅樣本平均看似「精準」，真正 μ 可能離得好遠。另外，當 n < 30 時，「資料近似常態」嘅假設變得重要 — 兩三個點根本驗證唔到呢個假設。建議至少 n ≥ 10 先值得計，n ≥ 30 先比較穩定；如果只能取得幾個點，可以考慮 bootstrap 重複抽樣或 Bayesian 方法。

信賴區間同假設檢定（t-test）有咩關係？

兩者係同一枚硬幣嘅兩面。如果你用 95% 信賴區間去檢驗「μ = μ₀」呢個假設：μ₀ 喺區間之外 ⟺ 雙尾 t-test 喺 α = 0.05 顯著（拒絕 H₀）。換言之，信賴區間相當於同時做晒所有 μ₀ 嘅 t-test：CI 內嘅值都「唔會被拒絕」，CI 外嘅值都「會被拒絕」。所以好多統計學家偏好報告 CI 多過淨係報 p 值 — CI 顯示效應大小同精度，p 值只告訴你「有冇顯著」。

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