二項分布機率計算機
二項分布 (Binomial Distribution) 描述固定 n 次獨立試驗中，每次成功機率為 p 嘅情況下，總共有 k 次成功嘅機率。輸入 n、p、k 即時得出 P(X = k)、累積機率 P(X ≤ k) / P(X ≥ k) 同分布嘅平均、標準差。
n 必須係 1–10000 嘅整數，p 介乎 0–1，k 必須係 0 到 n 嘅整數。
P(X = k)
24.61%
0.246094
P(X ≤ k)
62.30%
P(X ≥ k)
62.30%
平均 (期望值) n·p
5.000
標準差 √(n·p·(1−p))
1.581
假設每次試驗獨立、成功機率相同（白努利試驗）。
公式
P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ 平均 μ = n · p；變異 σ² = n · p · (1 − p)
- · C(n, k) = n! ÷ (k! · (n − k)!) 係二項係數 (組合數)。
- · 前提：n 次試驗彼此獨立、每次成功機率 p 相同（白努利試驗）。
- · 本工具用遞推式 P(X = i+1) = P(X = i) · (n − i)/(i + 1) · p/(1 − p) 計每個 PMF，n 可去到 10,000 都唔會 overflow。
- · 當 n 大、p 唔接近 0 或 1 時，可用常態近似：X ≈ N(np, np(1 − p))；經驗法則係 n · p ≥ 10 且 n · (1 − p) ≥ 10。
- · 當 p 細而 n 大、n · p ≈ λ 時，可用 Poisson 近似 P(X = k) ≈ e⁻ᵗ · λᵏ / k!。
- · p = 0 → 機率集中喺 k = 0；p = 1 → 機率集中喺 k = n。
常見問題
幾時用二項分布、幾時用 Poisson 或常態？
試驗次數 n 固定、每次成功機率 p 一樣 → 用二項分布。如果 n 大、p 又細到 n · p ≈ λ 屬於同一個 order，可改用 Poisson 近似 (e.g. 罕見事件)。若 n · p 同 n · (1 − p) 都 ≥ 10，可用常態 N(np, np(1 − p)) 近似嚟計連續事件，但對於 p 接近 0 或 1，常態近似會失真。
為何 P(X ≤ k) + P(X ≥ k) 唔等於 1？
兩者都包含咗 k 嗰點：P(X ≤ k) = P(X < k) + P(X = k)，而 P(X ≥ k) = P(X > k) + P(X = k)。所以 P(X ≤ k) + P(X ≥ k) = 1 + P(X = k)，唔係 1。如果想得到「互斥兩邊加起來」嘅 1，可以用 P(X ≤ k) + P(X > k) = 1 或者 P(X < k) + P(X ≥ k) = 1。本工具會同時顯示嚴格不等式 (P(X < k) / P(X > k)) 等於 P(X ≤ k) − P(X = k) 嘅版本，方便對照。
計算機可以接受幾大嘅 n？精度點？
本工具支援 n 最多 10,000。內部用遞推 P(i+1) = P(i) · (n − i)/(i + 1) · p/(1 − p) 直接由 P(0) = (1 − p)ⁿ 逐次行落去，浮點誤差大約喺 1e-10 量級；對於常見統計檢定 (n 由幾十到幾百) 嘅精度遠遠夠。對於 n 大過 10,000，請改用常態或 Poisson 近似。
p 可以等於 0 或 1 嗎？
可以。p = 0 代表每次都失敗，所以全部機率落喺 k = 0：P(X = 0) = 1，其他 k 為 0。p = 1 反過嚟，所有機率落喺 k = n。工具會直接返回呢啲極端值，唔會除以 0。
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