排列 nPr 計算機
輸入總數 n 同要排嘅項目數 r,即時計到 nPr(有順序咁由 n 個揀 r 個嘅排列方法數)、n 階乘 n!,同對應嘅組合數 nCr 方便對比。常用於概率題、排名場景(賽跑頭 3 名、撲克發牌、密碼鎖、座位安排)同 HKDSE/GCSE/A-Level 統計章節。
例如:10 個學生排頭 3 名、52 張啤牌派頭 5 張、6 隊球隊爭三甲。
r 唔可以大過 n;n、r 必須係 0 至 170 嘅整數。
排列 P(n, r) = nPr
720
排第一、第二、第三…次序唔同視為唔同結果(順序重要)。
組合 C(n, r) = nCr
120
純粹揀邊幾個,唔理排列次序(順序唔重要)。
n! (n 階乘)
3,628,800
n × (n−1) × … × 1,0! 規定等於 1。
公式
P(n, r) = nPr = n! ÷ (n − r)! n! = n × (n − 1) × (n − 2) × … × 1,且 0! = 1 與組合關係:nPr = nCr × r!
- · n 同 r 都係非負整數,r 必須 ≤ n;本工具支援 n 最大至 170(170! 已接近 IEEE-754 雙精度浮點上限,但用 BigInt 仍可精確顯示)。
- · 0! = 1 同 nP0 = 1:揀零個項目只有「乜都唔做」一種方法,呢個係數學定義。
- · nPn = n!:將 n 個項目全部排晒,剛好等於 n 階乘。
- · 排列(permutations)講順序:ABC 同 CBA 算兩個不同結果;組合(combinations)唔講順序。
- · 排列數成長極快:10P5 = 30,240;20P5 已有 1,860,480;30! 有 33 位數,反映「狀態爆炸」現象。
- · 與機率關係:由 n 個中隨機抽 r 個並隨機排序,配中某特定排列嘅機率為 1 / nPr。
- · 參考:Stewart, Calculus;HKDSE Mathematics Module 1 (M1) 概率章;OpenStax Introductory Statistics ch. 3。
常見問題
排列(nPr)同組合(nCr)有咩分別?應該揀邊個?
關鍵問自己:「順序重唔重要?」若 ABC 同 CBA 算兩個唔同結果(例:賽跑頭三名邊個第 1、第 2、第 3;密碼鎖數字順序;發牌嘅出牌順序),就用排列 nPr。若 ABC = CBA(例:揀 3 個人組成委員會、揀 6 個 Mark Six 號碼),就用組合 nCr。兩者公式關係:nPr = nCr × r! — 即排列 = 組合 × 將揀到嘅 r 個項目排序方式。
為何 0! 等於 1?
0! = 1 係數學定義,原因有兩個。第一,要保持遞迴關係 n! = n × (n−1)! 對所有 n ≥ 1 成立 — 取 n = 1 得 1! = 1 × 0!,所以 0! 必須等於 1。第二,從組合學嘅角度:「將 0 件物品排成一隊」確實有「唔做嘢」嗰一種方法,所以 0! = 1 同 0P0 = 1 都係 1 而非 0。呢個約定令 nPr 同 nCr 嘅公式喺 r = 0、r = n 等邊界情況都一致成立。
排列數可以幾大?點解 170 係上限?
排列數成長極快:20! 已接近 2.4 × 10¹⁸(普通 64-bit 整數上限),170! 約 7.3 × 10³⁰⁶ — 已經接近 IEEE-754 雙精度浮點所能表示嘅最大數(~1.8 × 10³⁰⁸)。171! 會 overflow 成 Infinity,所以採用 170 為實用上限。本工具用 JavaScript BigInt 計算,所有中間值都係精確整數,但用戶介面層面亦遵從呢個常見閾值。同類教科書(如 Khan Academy、CFA)通常都係用呢個值。
舉個實際例子:10 個學生爭頭三名有幾多種排名?
10 個學生揀頭三名,順序重要,所以用排列:10P3 = 10 × 9 × 8 = 720。第 1 名有 10 個揀法,剩 9 個爭第 2 名,再剩 8 個爭第 3 名 — 三步乘起就係 720。對比組合:若只係問「邊三個學生會企上頒獎台」(唔分名次),就係 10C3 = 120 — 啱啱好等於 720 ÷ 3!(3 個人嘅 3! = 6 種次序)。
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