金字塔／角錐體積計算機
本工具計算「正錐」（apex 喺底面形心正上方）嘅體積同表面積。支援 4 種常見底面：正方、長方、等邊三角，以及任意正 n 邊形（n ≥ 3）。基本公式由歐幾里得喺《幾何原本》第 XII 冊命題 7 證明：任何角錐體積等於同底等高棱柱體積嘅三分之一，即 V = ⅓ × 底面積 × 高。除咗體積之外，亦同時計算底面積、內切半徑（apothem）、斜高 ℓ、側面積同總表面積，足夠應付建築、模型、紙樣裁剪同學校幾何作業。
Enter valid numbers — every length and the height must be > 0; the polygon side count must be an integer ≥ 3.
Volume V
400
Results carry the cube of whatever length unit you enter (cm → cm³, m → m³, ft → ft³, etc.).
Formula
V = ⅓ × base area × height. For a regular n-gon base: A = ¼ n s² cot(π/n), slant ℓ = √(h² + a²) where a is the apothem.
Formula
V = ⅓ × A_base × h 正 n 邊形底（邊長 s）： A_base = ¼ n s² cot(π / n) apothem = s / (2 tan(π / n)) 斜高 ℓ = √(h² + apothem²) 側面積 = ½ n s ℓ 長方錐（長 a、闊 b、高 h）： V = a b h / 3 側面積 = a √(h² + (b/2)²) + b √(h² + (a/2)²)
- · 「高度 h」係 apex 垂直落到底面嘅距離，唔係斜高 ℓ。新手最常見錯誤就係攞到棱長（apex 到底面頂點）當高度代入。
- · 結果嘅單位係輸入單位嘅立方：cm → cm³、m → m³、ft → ft³ 等等。所有輸入必須係同一單位。
- · 所有 n 邊形公式只適用於「正」多邊形（所有邊同所有角相等）。如果底面係不規則四邊形（一般 trapezoid、kite），請先用 shoelace 公式自行算底面積，再用 V = ⅓ × A × h。
- · 長方錐有兩組唔同嘅斜高（沿長邊 vs 沿短邊），所以工具喺長方錐模式下唔顯示單一「斜高」，但側面積仍正確分兩組三角形相加。
- · 埃及胡夫大金字塔（Khufu）：底邊 230.4 m，原始高度 146.6 m → V ≈ 2,594,000 m³，可以拎工具核對。
- · 計算只限「直立 / 正錐」（apex 喺中心上方）；對於斜錐（oblique pyramid）體積公式仍然係 V = ⅓ × A × h（Cavalieri 原理），但側面積要逐塊三角形手算，本工具唔覆蓋。
- · 參考：Euclid《Elements》Book XII Prop. 7；CRC Standard Mathematical Tables and Formulae（Zwillinger 編）；Lehner《The Complete Pyramids》（1997）作為大金字塔數據出處。
Frequently asked
我份功課得到棱長（apex 到底面頂點嘅距離），唔係垂直高度，點算？
正方錐底邊 a、棱長 e 嘅情況下：底面對角線一半 = a√2 / 2，因此垂直高度 h = √(e² − (a√2 / 2)²) = √(e² − a² / 2)。等邊三角形底（正四面體類）邊長 a、棱長 e：底面形心到頂點距離 = a / √3，高度 h = √(e² − a² / 3)。一般正 n 邊形：先計外接半徑 R = s / (2 sin(π / n))，再 h = √(e² − R²)。算好 h 之後再代入本工具就一致。如果你個棱長等於斜高 ℓ（即 apex 到底邊中點），公式唔同：h = √(ℓ² − apothem²)，apothem = s / (2 tan(π / n))。記住分清楚 edge length vs slant height vs vertical height。
點解三角形錐用「等邊三角形」公式，但實際我嘅底唔等邊？
因為等邊三角形係「正三邊形」— 同正方、正六邊形一樣，所有邊同所有角相等，所以工具可以用一個參數 s 描述底面。如果你嘅底面係 scalene（三邊不等）三角形，先用海倫公式（Heron）計底面積：A = √(p(p−a)(p−b)(p−c))，當中 p = (a+b+c)/2；再用 V = ⅓ × A × h，h 為 apex 垂直到底面嘅距離。如果係直角三角形底，A = ½ × leg₁ × leg₂ 更快。針對 isosceles / right / scalene 三角形底，我哋暫時冇單獨界面，但本網站上嘅 Triangle Calculator 同 Heron Formula（如有）可以代算面積。
埃及金字塔嘅體積真係 ⅓ × 底² × 高？工程上點施工先得？
係。胡夫金字塔（Khufu）底邊 230.4 m、原始高度 146.6 m，代入正方錐公式 V = 230.4² × 146.6 / 3 ≈ 2.594 × 10⁶ m³。Petrie 1880 年代嘅實測同近代雷射掃描資料一致。歷史上呢條公式由阿基米德前期嘅埃及／巴比倫人經驗式得出，後由歐幾里得喺《幾何原本》XII.7 用「窮竭法」嚴格證明 — 任何角錐體積為同底等高棱柱嘅 ⅓。施工方面，古埃及工匠用「seked」（每肘垂直升起、橫向後退幾隻手指）作斜率單位、用水平水槽校水準，並用繩索 + 木樁定方位；底邊精度誤差 < 0.05 %，係 4500 年前嘅驚人成就。
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輸入正 n 邊形嘅邊數 n 同邊長 s，工具一次計算內角、外角、內切圓半徑、外接圓半徑、面積同周長，覆蓋三角形、正方形、五邊形、六邊形以至高邊數。
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輸入樣本量 n、樣本比例 p（或樣本標準差）同信心水平（90 / 95 / 99 %），工具計算誤差幅度 MOE = z·√(p(1−p)/n) 同對應信心區間 — 民調、A/B 測試、市場研究嘅核心統計量。
平均絕對偏差計算機（MAD）
輸入一組數字，工具計算平均絕對偏差（Mean Absolute Deviation, MAD）= 平均(|xᵢ − x̄|) — 比標準差更直觀嘅離散度指標，常見於中學統計課同需求預測。
平行四邊形面積計算機
輸入底邊同高，或兩邊加夾角，工具用 A = b × h 或 A = a × b × sin(θ) 一次過計平行四邊形嘅面積、周長同對角線長度。