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數學

球冠體積／表面積計算機

球冠（spherical cap）係由一個球體被一個平面切割出嘅「圓帽」形部分。輸入球體半徑 R 同球冠高度 h，工具用 V = π·h²·(3R − h)/3 計算體積、A = 2π·R·h 計算曲面表面積，另外亦給出底圓半徑 a = √[h(2R − h)]、總表面積同球冠佔整球體積嘅比例 — 部分球形儲罐、圓頂建築、光學透鏡同水位估算都用得着。

Cap volume V

—

unit³

Curved surface area A

—

unit²

Base-circle radius a

—

—

Total surface area (curved + base)

—

Fraction of full sphere volume

—

Use the same length unit on both inputs; volume is reported as that unit cubed.

Formula

V = π·h²·(3R − h) / 3 A(曲面) = 2π·R·h a（底圓半徑）= √[ h·(2R − h) ]

Frequently asked

我只有「底圓直徑 d」同「拱頂高度 h」（無球體半徑 R），點計？

由底圓半徑 a = d/2 同高度 h，可以用畢氏定理反推球體半徑：R = (a² + h²) / (2h)。例子：圓頂底圓直徑 6 m（a = 3 m）、頂高 1 m → R = (9 + 1) / 2 = 5 m。將 R = 5 同 h = 1 餵入本工具即得 V = π·1·(15 − 1)/3 ≈ 14.66 m³、曲面面積 A = 2π·5·1 ≈ 31.42 m²。建築實務上呢個係 sagitta（拱矢）→ 球半徑嘅標準轉換，木工、玻璃罩、衛星天線、戶外帳篷頂常用。一個記憶口訣：「弓弦平方加弓矢平方，除以兩倍弓矢」。

水平放嘅圓柱形水箱嘅水位 → 容量，可以用呢個工具嗎？

部分可以 — 球冠公式適用於水箱嘅「半球形端蓋」（dished end）。完整橫躺圓柱水箱嘅水位 → 容量計算其實要用「圓形截面段體積」（circular segment area × 圓柱長度），唔係球冠。但係好多工業 / 食品儲罐嘅兩端係 ASME torispherical 或 hemispherical dished ends — 端蓋部分嘅充水量可以拆出嚟用球冠公式算（高度 h = 水位減去側壁高度）。對於完整水位 → 容量，建議搵「圓柱橫躺 partial volume」專用工具（本網嘅 tank-volume 計算機已包括橫躺、直立兩種圓柱罐）。本工具最直接嘅應用係：球形水箱、頂部呈圓頂嘅水塔、半球形玻璃罩內裝物嘅體積估算。

球冠嘅「體積比」可以用嚟做咩？

常見三個用途：(1) 快速 sanity check — 例如 h = R/2 嘅球冠應該佔約 15.6% 整球體積，比直觀「四分之一球」要少，可以即時驗算自己嘅理解；(2) 球形儲罐液位 → 容量 — 例如儲液氮嘅球罐，水位佔球體高度 30% 時實際液量係幾多 % 容量，方便採購、補充嘅快速估算；(3) 教學示範 — 球冠係微積分中「旋轉體體積」嘅經典例題，比例值有助學生理解高度與體積嘅非線性關係（同高一倍唔代表體積一倍）。球罐底部 1/4 高度只儲約 5% 液量，上半球 R 至 1.5R 區域反而儲超過一半，做 calibration scale 時要注意。

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