調和平均數計算機（Harmonic Mean）
輸入一組正數，工具同時計算三種「畢氏平均」：調和平均 HM = n / Σ(1/xᵢ)、幾何平均 GM = (x₁·x₂·…·xₙ)^(1/n) 同算術平均 AM = Σxᵢ / n。三者恆滿足不等式 HM ≤ GM ≤ AM（只有所有值相同時相等），各自代表唔同情境嘅「公道平均」：速度／比率／F1 分數用 HM、複利／CAGR／比例用 GM、日常數量用 AM。
Harmonic mean HM
40
HM = n / Σ(1 / xᵢ). The right average for rates (speeds, P/E, flow).
Geometric mean GM
42.43
GM = (x₁·x₂·…·xₙ)^(1/n). The right average for compounding growth (CAGR, ratios).
Arithmetic mean AM
45
AM = Σxᵢ / n. The everyday average.
Three-mean comparison
Inequality: HM ≤ GM ≤ AM (with equality only when every value is identical).
- Data points n
- —
- Σ(1 / xᵢ)
- —
Formula
調和平均 HM = n / Σ(1 / xᵢ) 幾何平均 GM = (x₁·x₂·…·xₙ)^(1/n) = exp(Σ ln xᵢ / n) 算術平均 AM = Σ xᵢ / n 不等式：HM ≤ GM ≤ AM (xᵢ > 0 必要條件)
- · 經典例子：開車去返兩程同樣距離，去程 30 km/h、返程 60 km/h，全程平均速度 = HM(30, 60) = 40 km/h，唔係 AM 45 km/h — 因為慢嗰程花咗更多時間。
- · F1 分數 = 2 · precision · recall / (precision + recall) = HM(precision, recall)：選用 HM 可懲罰任何一邊過低，鼓勵兩邊都要高。
- · 幾何平均適合複利同百分比變化：年回報 +10% / −5% / +12%，平均年化回報 = GM(1.10, 0.95, 1.12) − 1 ≈ 5.34%；用 AM 會高估。
- · 調和平均同幾何平均要求 xᵢ > 0 — 任何零或負值都會令 HM、GM 無定義。AM 對 0 / 負值 OK。
- · 不等式 HM ≤ GM ≤ AM 可由 Jensen 不等式推導（log 凹、1/x 凸）；當且僅當所有 xᵢ 相同時三者相等。
- · URL 會將整組數值放喺 ?n= 參數內，方便書籤或分享。
Frequently asked
幾時應該用調和平均，唔用普通嘅算術平均？
當數據係「率」或者「每單位嘅量」嗰類，特別係分母對應同一個固定量嘅時候。最典型嘅情境：(1) 同樣距離下嘅平均速度（時間 = 距離 / 速度，故平均速度由 HM 決定）；(2) 同樣金額下嘅平均股價收益率（example: 兩個月各投入 $1000 買同一隻股票，平均成本由 HM 決定，即「美元成本平均法」效果）；(3) F1 分數平衡 precision、recall；(4) 流量／流速嘅平均（每單位時間嘅輸出）。一般原則：如果你正計嘅係「比率」而分母固定，用 HM；如果分子固定、分母變化，亦同樣係 HM 嘅情況。
幾何平均同調和平均同算術平均，三者之間有咩關係？
對任何一組正數，三者恆滿足 HM ≤ GM ≤ AM，等號只有所有值相同時先成立。直觀講：算術平均被「大數」拉高，幾何平均對「按比例放大」嘅變化敏感（適合複利），調和平均被「細數」拖低（任何接近零嘅值會將 HM 拉到近零）。另一個有用嘅恆等式：GM² = HM × AM（只對兩個正數成立），所以 HM = GM² / AM。N 個值時呢個關係唔再成立，但仍有 HM(x) = 1 / AM(1/x)：「先取倒數、再算算術平均、再取倒數」就係調和平均。
點解 F1 分數要用調和平均？用算術平均唔得嗎？
因為 F1 要求「兩邊都好」先有高分數。如果 precision = 1.0、recall = 0.01（即極端不平衡），算術平均 = 0.505 仍然係勉強合格分數，會掩蓋 recall 極低嘅問題；而調和平均 ≈ 0.02 — 強烈反映「兩個指標之中至少有一個唔合格」。一般而言，HM 對於極小值非常敏感：min(x_i) → 0 時 HM → 0。呢個性質令 F1 適合分類問題嘅綜合評分，特別係不平衡分類（imbalanced classification）嘅 minority class — 你唔想 model 為咗 precision 而放棄 recall（或反之）。
Related tools
百分比計算機
百分比、加減百分比、變化率三合一。
最大公因數／最小公倍數計算機
輸入 2 至 6 個正整數，即時得出最大公因數（HCF／GCD）同最小公倍數（LCM），並列出輾轉相除法步驟。
平均數計算機（平均／中位／眾數）
輸入一組數字，同時計到平均數、中位數、眾數、極差，連同標準差、方差同總和。
一元二次方程式解算機
輸入 ax² + bx + c = 0 嘅三個係數，即時得到實根或複根、判別式同頂點。
密碼強度（位元熵）計算機
輸入密碼，估算位元熵、暴力破解所需時間同強度等級。所有計算喺瀏覽器內完成。
科學記號 ↔ 十進制轉換
輸入十進制數字或者科學記號，得到對方表示方式同有效數字、數量級等資訊。
排列組合（nPr / nCr）計算機
計排列 P(n,r)、組合 C(n,r) 同階乘 n!，常用於概率、抽獎、密碼組合題目。
標準差／方差計算機
輸入一組數字，計平均值、中位數、樣本／總體方差同標準差，附逐步公式。
三角形計算機（SSS / SAS / ASA）
由 3 邊、2 邊 1 角或 2 角 1 邊解三角形其餘部分、面積同周長（正／餘弦定律）。
畢氏定理計算機
已知直角三角形任意兩邊（兩條直角邊或一條直角邊加斜邊），即時求第三邊、面積、周長同兩個非直角嘅角度。
圓形計算機（半徑／直徑／周長／面積）
輸入半徑、直徑、周長或面積任一個，即時計另外三個 — 設計、工程、家居皆用得着。
羅馬數字轉換器
阿拉伯數字（1–3999）與羅馬數字 (I, V, X, L, C, D, M) 雙向換算 — 適用於排版、書名章節、考試補習。
直線斜率與方程計算機（由兩點求 y = mx + b）
輸入兩個點 (x₁, y₁) 同 (x₂, y₂)，即時計斜率、y 截距、直線方程、兩點距離同中點 — 初中、高中數學常用。
生日悖論計算機
輸入人數 n，即時計算房間入面至少兩人同一個生日嘅機率 — 經典生日問題。
對數計算機（log / ln / log₂ / 任意底）
計算 logₐ(x) — 自動顯示自然對數 ln、常用對數 log₁₀、二進對數 log₂ 同自訂底，並列出換底公式步驟。
Z 分數（標準分）計算機
輸入觀測值、平均數同標準差，計 Z 分數同對應嘅常態分布百分位／概率。
螢幕像素密度（PPI）計算機
輸入解析度同對角線吋數，計螢幕嘅像素密度（PPI）、實際闊／高、點距同總像素。
香港六合彩中獎機率計算機
輸入注數同揀號方式（單式／複式／膽拖），計到頭獎、二獎到安慰獎嘅實際中獎機率。
小數轉分數計算機
輸入小數（包括循環小數），即刻轉換做最簡分數同混合分數。
球體體積與表面積計算機
輸入球體嘅半徑、直徑、表面積或者體積，即刻計返其餘三個量，加埋大圓周長同大圓面積。
圓柱體積與表面積計算機
輸入半徑同高，計算圓柱體體積 (π r²h)、側面積、底面積同總表面積。
排列 nPr 計算機
輸入 n 同 r，計算 nPr（有順序揀 r 個項目嘅排列數），同 n! / r! 比較。
質因數分解計算機
輸入任何 2 至 10¹² 嘅正整數，即時分解成質因數連乘式，並列出所有正因數同因數和。
幾何平均數計算機
輸入一組正數，計算幾何平均（n 個數之積開 n 次方），同對應嘅算術平均一齊比較 — 適合年化回報率、成長率同比率。
費氏數列計算機（第 n 項）
輸入 0 至 1500 嘅整數 n，即時用 BigInt 計到 F(n)、F(n−1)、相鄰比例（收斂到黃金比例 φ），同前 30 項完整序列。
骰子點數機率計算機
揀骰子數量、骰面（d4／d6／d8／d10／d12／d20）同目標點數，計算掟到該總和、最少／最多嘅機率。
等差數列計算機
輸入首項 a、公差 d 同項數 n，計算第 n 項 aₙ 同前 n 項總和 Sₙ = n/2·(2a + (n − 1)d)。
抽樣調查樣本數計算機
輸入信心水平、誤差範圍同預期比例（可選母體大小），計算問卷調查所需樣本數。
等比數列求和計算機
輸入首項 a、公比 r 同項數 n，計算等比數列前 n 項之和；公比小於 1 時亦可計算無限項之和。
圓錐體積與表面積計算機
輸入底半徑與高度，即時得出圓錐體積、斜高、側面積、底面積、總表面積。
音名頻率計算機
輸入音名（C、C♯、D…）、八度同調音標準 A4 (預設 440 Hz)，用 f = A4 × 2^((n − 69)/12) 算頻率 (Hz)、波長同 MIDI 編號。
線性插值計算機（內插／外推）
輸入兩個已知點 (x₁, y₁) 同 (x₂, y₂)，再輸入目標 x，即時用 y = y₁ + (x − x₁)(y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) 估算對應嘅 y；自動標示內插同外推。
梯形面積計算機
輸入梯形上底、下底同高度，即時計算面積、中位線同周長（已知斜邊或角度時）。
二項分布機率計算機
輸入試驗次數 n、單次成功機率 p 同想要嘅成功次數 k，計算 P(X = k)、P(X ≤ k)、P(X ≥ k) 同分布嘅平均、標準差。
皮爾遜相關係數計算機
貼上兩組數據（X 同 Y），計算皮爾遜相關係數 r、決定係數 r²、最佳擬合直線斜率同截距、樣本均值同標準差。
平均數信賴區間 (CI) 計算機
輸入樣本平均、樣本標準差、樣本大小同信心水平，用 t 或 z 分布計樣本平均數嘅信賴區間、誤差範圍同標準誤。
Cohen's d 效應值計算機
輸入兩組嘅平均數、標準差同樣本量，計算 Cohen's d 同 Hedges' g 效應值，並按 Cohen 1988 標準分類為極細／細／中／大效應。
取餘數（Modulo）計算機
輸入被除數 a 同除數 n，計算 a mod n 嘅商同餘數，並同時列出「向下取整」（floor，數學定義）、「向零取整」（trunc，C/JavaScript %）同「Euclidean」三種結果以揭示負數時嘅差別。
chmod 權限轉換器（八進制 ↔ rwx）
揀 user / group / other 嘅讀 / 寫 / 執行權限，即時得到八進制（如 755）同符號（如 rwxr-xr-x）兩種表示法。
向量大小與方向計算機（2D / 3D）
輸入 2D 或 3D 向量分量（x, y, z），計算向量大小、單位向量同方向角。
百分誤差計算機（Percent Error / Percent Difference）
輸入實驗值同理論值（accepted value），即時計算百分誤差、絕對誤差同帶符號嘅相對誤差；亦可切換到 percent difference 模式比較兩個冇真值參考嘅量度結果。
泊松分佈機率計算機
輸入平均事件率 λ 同事件數 k，計算 P(X = k)、P(X ≤ k)、P(X ≥ k)、平均值、變異數、標準差，用於排隊論、客服中心、罕見事件預測等場景。
貝氏定理機率計算機（Bayes’ Theorem）
輸入先驗機率 P(A)、靈敏度 P(B|A) 同假陽性率 P(B|¬A)，由貝氏定理計算後驗機率 P(A|B)，常用於醫療檢測、垃圾郵件偵測、AI 分類決策分析。
圓弧長度與扇形面積計算機
輸入圓嘅半徑同圓心角（度或弧度），計算對應嘅弧長 s = r·θ、扇形面積 A = ½·r²·θ 同弦長，適用於幾何作業、機械加工同建築佈局。
矩陣行列式計算機（2×2 同 3×3）
輸入 2×2 或 3×3 矩陣嘅每個元素，即時用 ad − bc 同沿首列展開（cofactor expansion）求行列式 det(A)，並顯示矩陣可逆性同每步小行列式，方便溫線性代數。
向量點積（內積）計算機（2D / 3D）
輸入兩個 2D 或 3D 向量，即時計算點積、夾角、純量投影同向量投影，並提示是否正交、平行或反向。
對稱百分比差異計算機（Percent Difference）
輸入兩個數值，計算對稱百分比差異 |a − b| / ((|a| + |b|) / 2)，同時對照常見嘅百分比變化 (b − a)/a，避免實驗報告同新聞數字溝亂。
向量叉積計算機（Cross Product, 3D）
輸入兩個三維向量 a、b，計算叉積 a × b、結果向量嘅長度（等於平行四邊形面積）同夾角 sin θ，廣泛用於物理力矩、計算幾何同 3D 圖形學。
兩點距離計算機（2D / 3D 歐氏距離）
輸入平面或空間中嘅兩個點座標，用歐氏距離公式 √Σ(Δᵢ)² 計算直線距離、各軸差值同中點，方便幾何作業、CAD 量度同 GIS 平面距離。
變異係數計算機（Coefficient of Variation, CV）
輸入一組數值，計算變異係數 CV = σ / μ × 100%（標準差除以均值），用嚟比較唔同單位或量級嘅資料離散程度，常見於實驗重複性同投資組合風險評估。
中位數同四分位數計算機（Median, Q1, Q3, IQR）
輸入一組數值，工具排序後計算中位數、第一/第三四分位數、四分位距 IQR 同 1.5×IQR 離群值界限（Tukey 法），係統計箱形圖嘅核心摘要。
正多邊形計算機（面積、內角、半徑）
輸入正 n 邊形嘅邊數 n 同邊長 s，工具一次計算內角、外角、內切圓半徑、外接圓半徑、面積同周長，覆蓋三角形、正方形、五邊形、六邊形以至高邊數。
卡塔蘭數計算機（Catalan Number Cₙ）
輸入 n，計算第 n 個卡塔蘭數 Cₙ = (2n)! / ((n+1)! · n!) — 計算機科學常用，數括號配對、二叉樹形狀、Dyck 路徑等組合問題嘅標準解。