RMSE / MAE 預測誤差計算機
輸入兩欄一一對應嘅數字 — 左邊「實際值 y」、右邊「預測值 ŷ」（任何分隔符都得：逗號、空格、分號、換行）— 工具即時返出 MAE、MSE、RMSE、R²、MAPE 同平均偏差六個常用回歸誤差指標。背後同 scikit-learn 嘅 `mean_squared_error` / `mean_absolute_error` / `r2_score` / `mean_absolute_percentage_error` 完全一致；無需 Python 環境，貼數字入嚟即用。機器學習比賽 leaderboard、銷售預測準確度比對、實驗數據對照理論預測全部岩用。
Separate by commas, whitespace, semicolons or newlines. The two columns must line up one-to-one.
Bad input: both columns must be numeric, equal in length and non-empty.
Error metrics
Root mean squared error (RMSE)
—
RMSE = √MSE. Same units as y — easy to interpret.
Mean absolute error (MAE)
—
MAE = (1/n) Σ |ŷ − y|. Robust to outliers.
Coefficient of determination R²
—
1 − SS_res / SS_tot. 1.0 = perfect fit; 0 = no better than predicting the mean; negative = worse than the mean.
Mean squared error (MSE)
—
MSE = (1/n) Σ (ŷ − y)². Amplifies large errors.
Mean absolute percentage error (MAPE)
—
MAPE = (1/n) Σ |ŷ − y| / |y|. Undefined if any actual value is 0.
Mean bias (ŷ − y)
—
Positive = on average over-predicting; negative = under-predicting; zero = no systematic bias.
RMSE ≥ MAE always. The closer the ratio is to 1, the more uniform the errors; a wide gap means a few outliers dominate the RMSE.
Formula
MAE = (1/n) Σ |ŷᵢ − yᵢ| MSE = (1/n) Σ (ŷᵢ − yᵢ)² RMSE = √MSE R² = 1 − Σ(ŷᵢ − yᵢ)² / Σ(yᵢ − ȳ)² MAPE = (1/n) Σ |ŷᵢ − yᵢ| / |yᵢ| （yᵢ = 0 時無定義） Bias = (1/n) Σ (ŷᵢ − yᵢ) （平均符號誤差）
- · 同 sklearn 出嘅數完全一樣 — 經過 sklearn 1.4 嘅 `mean_squared_error` / `mean_absolute_error` / `r2_score` 等等回歸測試，誤差喺浮點精度以內。
- · RMSE 永遠 ≥ MAE（Jensen 不等式）。兩者比例越接近 1 代表誤差越「平均」；落差大代表 RMSE 被少數大誤差拉高 — 通常係 outlier 警號。
- · R² 由 1（完美擬合）到 0（同直接用 ȳ 預測一樣）；可以係負數，代表模型比「永遠估平均值」仲差。
- · MAPE 同樣常用，但對接近 0 嘅實際值極為敏感 — yᵢ = 0 時呢個指標無定義，工具會明示。Hyndman & Koehler (2006) 嘅 sMAPE / MASE 都係為咗解決呢個缺陷。
- · 簽名 = ŷ − y（預測 − 實際），所以正嘅平均偏差代表系統性高估，負代表低估。MAE / MSE / RMSE 全部對稱（都係絕對值或平方），唔會被偏差正負抵消。
- · 本工具用係 population formula（除以 n）— 統計教科書另一版本除以 n−p−1 用嚟做自由度校正；機器學習文獻一律用 n。
- · 出處：Hyndman & Koehler, "Another look at measures of forecast accuracy", IJF 22 (2006); scikit-learn 1.4 metrics docs; Goodfellow/Bengio/Courville, Deep Learning §5.1。
Frequently asked
RMSE 同 MAE，邊一個喺機器學習嘅 model 評估上更常用？
兩個都常見，但「文化分裂」好明顯：(1) 傳統統計 / 計量經濟學文獻一向用 RMSE — 因為平方誤差可解析微分，配合 Gaussian 高斯誤差假設嘅 MLE 自然得出 OLS（最小平方法）；(2) Kaggle 比賽會兩者都見，但 MAE / RMSE 之間嘅選擇主要由業務需求決定 — outlier 重要就用 RMSE（會放大），唔重要就用 MAE（更穩定）；(3) 銷售 / 物流預測界傾向 MAE，因為單個離群值唔應該主導指標；(4) 神經網絡訓練嘅 loss function 大多用 MSE（即 RMSE 嘅平方），因為梯度更平滑、optimization 更易收斂。簡而言之：報告比較模型用 RMSE 偏多；對個別預測準確度問責用 MAE。
R² 出咗負數係咩意思？係咪我啲計算錯咗？
冇錯。R² 嘅定義 1 − SS_res / SS_tot 喺以下情況可以低過 0：當「模型嘅誤差平方和」比「全部用平均值 ȳ 做預測嘅誤差平方和」仲大 — 即係你嘅模型比「永遠估平均值」仲差。實務上呢個情境常見於：(1) 用 training data 嘅 ȳ 去做 hold-out / test data 嘅基線，但 test 嘅真實分佈唔同；(2) 用一個複雜模型嚴重 overfit，喺新數據完全失敗；(3) 用 leave-one-out 等小樣本做評估，少量極端誤差就足以拖低 R²。Note：sklearn 嘅 `r2_score` 預設行為同呢工具一樣，會返出負數而唔係 cap 喺 0 — 比較公道，因為「比平均值差」係真實有用嘅信號。
MAPE 上面顯示「無定義」 — 點解？我有冇辦法逼佢出個數字？
因為公式入面有 |ŷ − y| / |y|，當任何一個 yᵢ = 0 時，呢一項就變 0 除 0（無定義）。即使全部 yᵢ 嘅平均值都唔係 0，亦唔可以用，因為定義要對「每個樣本」嘅 yᵢ 做分母。常見 workaround：(1) sMAPE（對稱 MAPE）用 (|y| + |ŷ|) / 2 做分母，避免單純 y = 0 嘅情況；(2) MASE（Mean Absolute Scaled Error）用 in-sample naïve 預測嘅 MAE 做基準，完全唔受 y 嘅 scale 影響，亦無 division-by-zero 問題（Hyndman & Koehler 2006）；(3) 如果你嘅數據真實接近 0，最好直接報告 MAE / RMSE 加上 y 嘅 scale，唔好用 MAPE。本工具明示「無定義」而唔係輸出虛假數字，免得誤導下游分析。
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輸入先驗機率 P(A)、靈敏度 P(B|A) 同假陽性率 P(B|¬A)，由貝氏定理計算後驗機率 P(A|B)，常用於醫療檢測、垃圾郵件偵測、AI 分類決策分析。
圓弧長度與扇形面積計算機
輸入圓嘅半徑同圓心角（度或弧度），計算對應嘅弧長 s = r·θ、扇形面積 A = ½·r²·θ 同弦長，適用於幾何作業、機械加工同建築佈局。
矩陣行列式計算機（2×2 同 3×3）
輸入 2×2 或 3×3 矩陣嘅每個元素，即時用 ad − bc 同沿首列展開（cofactor expansion）求行列式 det(A)，並顯示矩陣可逆性同每步小行列式，方便溫線性代數。
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輸入一組正數，計算調和平均 HM = n / Σ(1/xᵢ) 同對應嘅算術／幾何平均，常用於平均速度、平均比率、平均 P/E 等「分母性質」嘅數據。
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輸入單次事件機率 p 同重複次數 n，工具計算「至少出現一次」嘅機率 1 − (1 − p)ⁿ、預期次數 np，以及達到目標機率所需嘅試驗次數 — 適用於抽獎、Gacha、A/B 測試、安全冗餘設計。