Z 分數轉 P 值計算機
已經有 Z 分數，但要轉成 P 值用於報告？輸入任意實數 Z，工具用標準常態 CDF Φ(z) 一次過算出左尾、右尾同雙尾 P 值，並對照 α = 0.05 / 0.01 / 0.001 三檔顯著水準作判斷 — 完成 t 檢定、比例檢定、迴歸係數、A/B 測試後嘅最後一步。
Enter a finite Z-score.
Two-sided p (2·min(p_left, p_right))
—
—
Left-tail p (P(Z ≤ z))
—
Right-tail p (P(Z ≥ z))
—
Standard normal CDF Φ(z)
—
Uses the Abramowitz & Stegun 7.1.26 erf approximation (error ≈ 1.5e-7); matches Excel, SciPy and R's pnorm() to six decimals.
Formula
Φ(z) = ½ · [1 + erf(z / √2)] p左 = Φ(z) p右 = 1 − Φ(z) p雙尾 = 2 · min(p左, p右)
- · 單尾 vs 雙尾：研究假設「有變化」（不指定方向）用雙尾；假設「比基線大」或「比基線細」用相應單尾。報告必須事先註明，唔好計咗結果先決定。
- · 經典臨界值對照：z = 1.645 → 單尾 p = 0.05；z = 1.96 → 雙尾 p = 0.05；z = 2.576 → 雙尾 p = 0.01；z = 3.291 → 雙尾 p = 0.001。
- · Z 假設大樣本（n ≥ 30）或已知總體方差。樣本小且方差未知時應該用 t 分布（自由度 = n − 1），本工具會略為高估顯著性。
- · 計算使用 Abramowitz & Stegun 7.1.26 erf 近似（最大誤差 ≈ 1.5 × 10⁻⁷），結果同 Excel NORM.S.DIST()、Python scipy.stats.norm.cdf()、R pnorm() 一致到小數第六位。
- · p < 0.05 唔等於「假設成立」 — 只係話「如果原假設為真，觀察到呢個或更極端結果嘅機率細於 5%」。American Statistical Association 2016 聲明：報告 p 值要連同效應量（Cohen's d、odds ratio）一齊，避免單靠 p 值決策。
- · 參考：Abramowitz & Stegun, *Handbook of Mathematical Functions* 7.1.26；Wasserstein & Lazar, "ASA Statement on p-values" (2016)。
Frequently asked
我嘅 Z 係 1.96，雙尾 P 值點解係 0.05 而唔係 0.025？
因為「雙尾」係將兩個尾端嘅機率加埋。z = 1.96 嘅右尾 P(Z ≥ 1.96) ≈ 0.025，但雙尾檢定問嘅係「|Z| ≥ 1.96」嘅機率 — 即落喺 +1.96 上方或者 −1.96 下方嘅總機率：0.025 + 0.025 = 0.05。喺報告統計顯著時，慣常用雙尾係因為研究人員一般無預先指定方向。如果研究設計清楚規定「新藥嘅效果應該大於安慰劑」並寫入 protocol，先可以用單尾 — 用單尾將「同一個 z 值嘅 p」減半，更易達顯著，但事後改成單尾以「擠出」顯著結果（p-hacking）係嚴重學術錯誤，醫學期刊一般直接拒稿。
幾時應該用 Z，幾時應該用 t？
兩個分布同形（都對稱、鐘形），分別在於尾部。Z 假設「總體標準差 σ 已知」或者「樣本量 n ≥ 30，可以由樣本標準差 s 充分近似 σ」 — 呢時 Z 分布尾部準確，可以直接用本工具。t 分布額外考慮「s 本身嘅抽樣誤差」，尾部比 Z 稍微肥厚，需要查 t 分佈表配自由度 df = n − 1。實務上：(a) 醫學試驗、A/B test 樣本通常 n > 30，用 Z；(b) 心理學、社科實驗常見 n = 10–25，要用 t；(c) 比例 (proportion) 嘅 z 檢定唔受 n 限制，因為 σ 可由 p(1−p) 推出，但 n·p > 5 同 n·(1−p) > 5 嘅大樣本條件仍要滿足；(d) 迴歸係數係 t 檢定（df = n − k − 1），唔好用 z。如果結果落喺邊緣（p ≈ 0.05），用 t 通常會微升、用 Z 會微降，差異喺 n = 20 大約 0.005。
為何「p < 0.05」唔可以直接解讀為「我嘅假設成立」？
p 值嘅嚴格定義係：「假設原假設 H₀ 為真，觀察到呢個或更極端結果嘅機率」— 係條件機率 P(數據 | H₀)，並非 P(H₀ | 數據) 或 P(H₁ | 數據)。即係話 p = 0.03 唔等於「假設成立嘅機率係 97%」、亦唔等於「再做一次有 97% 機會得到顯著結果」。實際意義上佢只代表：「如果原假設真，觀察到呢類數據嘅機率係 3%」 — 仍然存在錯誤拒絕（Type I error）嘅可能。第二，p 值受樣本量影響極大 — 大樣本下，幾乎所有效應都會顯著（包括無實際意義嘅微小差異）；小樣本下，真實大效應可能仍唔顯著。因此 American Statistical Association 2016 聲明特別強調：報告統計結果應同時報效應量（如 Cohen's d、relative risk、95% CI）、再加 p 值，唔好只睇 p < 0.05 就下結論。學界亦有「拋棄 p < 0.05 二元判斷、改用連續詮釋」嘅運動（Amrhein, Greenland & McShane, Nature 2019）。
Related tools
百分比計算機
百分比、加減百分比、變化率三合一。
最大公因數／最小公倍數計算機
輸入 2 至 6 個正整數，即時得出最大公因數（HCF／GCD）同最小公倍數（LCM），並列出輾轉相除法步驟。
平均數計算機（平均／中位／眾數）
輸入一組數字，同時計到平均數、中位數、眾數、極差，連同標準差、方差同總和。
一元二次方程式解算機
輸入 ax² + bx + c = 0 嘅三個係數，即時得到實根或複根、判別式同頂點。
密碼強度（位元熵）計算機
輸入密碼，估算位元熵、暴力破解所需時間同強度等級。所有計算喺瀏覽器內完成。
科學記號 ↔ 十進制轉換
輸入十進制數字或者科學記號，得到對方表示方式同有效數字、數量級等資訊。
排列組合（nPr / nCr）計算機
計排列 P(n,r)、組合 C(n,r) 同階乘 n!，常用於概率、抽獎、密碼組合題目。
標準差／方差計算機
輸入一組數字，計平均值、中位數、樣本／總體方差同標準差，附逐步公式。
三角形計算機（SSS / SAS / ASA）
由 3 邊、2 邊 1 角或 2 角 1 邊解三角形其餘部分、面積同周長（正／餘弦定律）。
畢氏定理計算機
已知直角三角形任意兩邊（兩條直角邊或一條直角邊加斜邊），即時求第三邊、面積、周長同兩個非直角嘅角度。
圓形計算機（半徑／直徑／周長／面積）
輸入半徑、直徑、周長或面積任一個，即時計另外三個 — 設計、工程、家居皆用得着。
羅馬數字轉換器
阿拉伯數字（1–3999）與羅馬數字 (I, V, X, L, C, D, M) 雙向換算 — 適用於排版、書名章節、考試補習。
直線斜率與方程計算機（由兩點求 y = mx + b）
輸入兩個點 (x₁, y₁) 同 (x₂, y₂)，即時計斜率、y 截距、直線方程、兩點距離同中點 — 初中、高中數學常用。
生日悖論計算機
輸入人數 n，即時計算房間入面至少兩人同一個生日嘅機率 — 經典生日問題。
對數計算機（log / ln / log₂ / 任意底）
計算 logₐ(x) — 自動顯示自然對數 ln、常用對數 log₁₀、二進對數 log₂ 同自訂底，並列出換底公式步驟。
Z 分數（標準分）計算機
輸入觀測值、平均數同標準差，計 Z 分數同對應嘅常態分布百分位／概率。
螢幕像素密度（PPI）計算機
輸入解析度同對角線吋數，計螢幕嘅像素密度（PPI）、實際闊／高、點距同總像素。
香港六合彩中獎機率計算機
輸入注數同揀號方式（單式／複式／膽拖），計到頭獎、二獎到安慰獎嘅實際中獎機率。
小數轉分數計算機
輸入小數（包括循環小數），即刻轉換做最簡分數同混合分數。
球體體積與表面積計算機
輸入球體嘅半徑、直徑、表面積或者體積，即刻計返其餘三個量，加埋大圓周長同大圓面積。
圓柱體積與表面積計算機
輸入半徑同高，計算圓柱體體積 (π r²h)、側面積、底面積同總表面積。
排列 nPr 計算機
輸入 n 同 r，計算 nPr（有順序揀 r 個項目嘅排列數），同 n! / r! 比較。
質因數分解計算機
輸入任何 2 至 10¹² 嘅正整數，即時分解成質因數連乘式，並列出所有正因數同因數和。
幾何平均數計算機
輸入一組正數，計算幾何平均（n 個數之積開 n 次方），同對應嘅算術平均一齊比較 — 適合年化回報率、成長率同比率。
費氏數列計算機（第 n 項）
輸入 0 至 1500 嘅整數 n，即時用 BigInt 計到 F(n)、F(n−1)、相鄰比例（收斂到黃金比例 φ），同前 30 項完整序列。
骰子點數機率計算機
揀骰子數量、骰面（d4／d6／d8／d10／d12／d20）同目標點數，計算掟到該總和、最少／最多嘅機率。
等差數列計算機
輸入首項 a、公差 d 同項數 n，計算第 n 項 aₙ 同前 n 項總和 Sₙ = n/2·(2a + (n − 1)d)。
抽樣調查樣本數計算機
輸入信心水平、誤差範圍同預期比例（可選母體大小），計算問卷調查所需樣本數。
等比數列求和計算機
輸入首項 a、公比 r 同項數 n，計算等比數列前 n 項之和；公比小於 1 時亦可計算無限項之和。
圓錐體積與表面積計算機
輸入底半徑與高度，即時得出圓錐體積、斜高、側面積、底面積、總表面積。
音名頻率計算機
輸入音名（C、C♯、D…）、八度同調音標準 A4 (預設 440 Hz)，用 f = A4 × 2^((n − 69)/12) 算頻率 (Hz)、波長同 MIDI 編號。
線性插值計算機（內插／外推）
輸入兩個已知點 (x₁, y₁) 同 (x₂, y₂)，再輸入目標 x，即時用 y = y₁ + (x − x₁)(y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) 估算對應嘅 y；自動標示內插同外推。
梯形面積計算機
輸入梯形上底、下底同高度，即時計算面積、中位線同周長（已知斜邊或角度時）。
二項分布機率計算機
輸入試驗次數 n、單次成功機率 p 同想要嘅成功次數 k，計算 P(X = k)、P(X ≤ k)、P(X ≥ k) 同分布嘅平均、標準差。
皮爾遜相關係數計算機
貼上兩組數據（X 同 Y），計算皮爾遜相關係數 r、決定係數 r²、最佳擬合直線斜率同截距、樣本均值同標準差。
平均數信賴區間 (CI) 計算機
輸入樣本平均、樣本標準差、樣本大小同信心水平，用 t 或 z 分布計樣本平均數嘅信賴區間、誤差範圍同標準誤。
Cohen's d 效應值計算機
輸入兩組嘅平均數、標準差同樣本量，計算 Cohen's d 同 Hedges' g 效應值，並按 Cohen 1988 標準分類為極細／細／中／大效應。
取餘數（Modulo）計算機
輸入被除數 a 同除數 n，計算 a mod n 嘅商同餘數，並同時列出「向下取整」（floor，數學定義）、「向零取整」（trunc，C/JavaScript %）同「Euclidean」三種結果以揭示負數時嘅差別。
chmod 權限轉換器（八進制 ↔ rwx）
揀 user / group / other 嘅讀 / 寫 / 執行權限，即時得到八進制（如 755）同符號（如 rwxr-xr-x）兩種表示法。
向量大小與方向計算機（2D / 3D）
輸入 2D 或 3D 向量分量（x, y, z），計算向量大小、單位向量同方向角。
百分誤差計算機（Percent Error / Percent Difference）
輸入實驗值同理論值（accepted value），即時計算百分誤差、絕對誤差同帶符號嘅相對誤差；亦可切換到 percent difference 模式比較兩個冇真值參考嘅量度結果。
泊松分佈機率計算機
輸入平均事件率 λ 同事件數 k，計算 P(X = k)、P(X ≤ k)、P(X ≥ k)、平均值、變異數、標準差，用於排隊論、客服中心、罕見事件預測等場景。
貝氏定理機率計算機（Bayes’ Theorem）
輸入先驗機率 P(A)、靈敏度 P(B|A) 同假陽性率 P(B|¬A)，由貝氏定理計算後驗機率 P(A|B)，常用於醫療檢測、垃圾郵件偵測、AI 分類決策分析。
圓弧長度與扇形面積計算機
輸入圓嘅半徑同圓心角（度或弧度），計算對應嘅弧長 s = r·θ、扇形面積 A = ½·r²·θ 同弦長，適用於幾何作業、機械加工同建築佈局。
矩陣行列式計算機（2×2 同 3×3）
輸入 2×2 或 3×3 矩陣嘅每個元素，即時用 ad − bc 同沿首列展開（cofactor expansion）求行列式 det(A)，並顯示矩陣可逆性同每步小行列式，方便溫線性代數。
向量點積（內積）計算機（2D / 3D）
輸入兩個 2D 或 3D 向量，即時計算點積、夾角、純量投影同向量投影，並提示是否正交、平行或反向。
餘弦相似度計算機（Cosine Similarity）
輸入兩個任意維度嘅數值向量，計算 cos θ = (a·b) / (|a|·|b|)，並轉換為角度距離，廣泛用於 NLP、推薦系統、文件相似度評分。
對稱百分比差異計算機（Percent Difference）
輸入兩個數值，計算對稱百分比差異 |a − b| / ((|a| + |b|) / 2)，同時對照常見嘅百分比變化 (b − a)/a，避免實驗報告同新聞數字溝亂。
向量叉積計算機（Cross Product, 3D）
輸入兩個三維向量 a、b，計算叉積 a × b、結果向量嘅長度（等於平行四邊形面積）同夾角 sin θ，廣泛用於物理力矩、計算幾何同 3D 圖形學。
兩點距離計算機（2D / 3D 歐氏距離）
輸入平面或空間中嘅兩個點座標，用歐氏距離公式 √Σ(Δᵢ)² 計算直線距離、各軸差值同中點，方便幾何作業、CAD 量度同 GIS 平面距離。
變異係數計算機（Coefficient of Variation, CV）
輸入一組數值，計算變異係數 CV = σ / μ × 100%（標準差除以均值），用嚟比較唔同單位或量級嘅資料離散程度，常見於實驗重複性同投資組合風險評估。
中位數同四分位數計算機（Median, Q1, Q3, IQR）
輸入一組數值，工具排序後計算中位數、第一/第三四分位數、四分位距 IQR 同 1.5×IQR 離群值界限（Tukey 法），係統計箱形圖嘅核心摘要。
調和平均數計算機（Harmonic Mean）
輸入一組正數，計算調和平均 HM = n / Σ(1/xᵢ) 同對應嘅算術／幾何平均，常用於平均速度、平均比率、平均 P/E 等「分母性質」嘅數據。
Shannon 熵計算機（資訊熵）
輸入一組類別嘅機率或頻次，計算 Shannon 熵 H = −Σ pᵢ log₂ pᵢ（bits）、最大可能熵同歸一化熵，用於資訊理論、機器學習決策樹同密碼分析。
正多邊形計算機（面積、內角、半徑）
輸入正 n 邊形嘅邊數 n 同邊長 s，工具一次計算內角、外角、內切圓半徑、外接圓半徑、面積同周長，覆蓋三角形、正方形、五邊形、六邊形以至高邊數。
卡塔蘭數計算機（Catalan Number Cₙ）
輸入 n，計算第 n 個卡塔蘭數 Cₙ = (2n)! / ((n+1)! · n!) — 計算機科學常用，數括號配對、二叉樹形狀、Dyck 路徑等組合問題嘅標準解。
RMSE / MAE 預測誤差計算機
輸入一組實際值同對應預測值，工具同時計算 MAE、MSE、RMSE、R² 同 MAPE，用於機器學習回歸評估、銷售預測同實驗對比，仲會講解三個指標嘅敏感度差異。
二元一次方程組求解（Cramer's Rule）
輸入 ax + by = e 同 cx + dy = f 嘅 6 個係數，工具用 Cramer 法則計算 x, y、行列式 D 同分類情況（唯一解 / 無解 / 無窮多解），同步顯示步驟方便檢查作業。
至少一次機率計算機（1 − (1 − p)ⁿ）
輸入單次事件機率 p 同重複次數 n，工具計算「至少出現一次」嘅機率 1 − (1 − p)ⁿ、預期次數 np，以及達到目標機率所需嘅試驗次數 — 適用於抽獎、Gacha、A/B 測試、安全冗餘設計。
卡方適合度檢定計算機（χ² Goodness of Fit）
輸入觀察次數同期望次數，工具計算卡方統計量 χ² = Σ (O − E)² / E、自由度同 p 值，判斷觀察分佈係咪顯著偏離理論分佈 — 適用於骰仔公平性、Mendel 遺傳比例、A/B 測試類別計數等檢驗。
期望值計算機（E[X] = Σ p·x）
輸入一組「結果值 x」同對應「機率 p」，工具計算離散隨機變量嘅期望值 E[X] = Σ p·x、方差 Var(X)、標準差 σ — 用於賭場、保險、投資決策、A/B 測試等概率問題嘅基礎指標。
誤差幅度計算機（民調 / 抽樣 Margin of Error）
輸入樣本量 n、樣本比例 p（或樣本標準差）同信心水平（90 / 95 / 99 %），工具計算誤差幅度 MOE = z·√(p(1−p)/n) 同對應信心區間 — 民調、A/B 測試、市場研究嘅核心統計量。
平均絕對偏差計算機（MAD）
輸入一組數字，工具計算平均絕對偏差（Mean Absolute Deviation, MAD）= 平均(|xᵢ − x̄|) — 比標準差更直觀嘅離散度指標，常見於中學統計課同需求預測。
金字塔／角錐體積計算機
輸入底面尺寸同高度，工具一次過計算正方、長方、三角形或任意正 n 邊形錐體嘅體積、底面積、斜高、側面積同總表面積（V = ⅓ × 底面積 × 高）。
平行四邊形面積計算機
輸入底邊同高，或兩邊加夾角，工具用 A = b × h 或 A = a × b × sin(θ) 一次過計平行四邊形嘅面積、周長同對角線長度。
橢圓面積／周長計算機（Ramanujan 近似）
輸入橢圓半長軸 a 同半短軸 b，工具用 A = π a b 計面積，並用 Ramanujan 第二式估算周長同離心率 — 相對誤差小於 4×10⁻⁵。
球冠體積／表面積計算機
輸入球體半徑 R 同球冠高度 h，工具用 V = πh²(3R − h)/3 同 A = 2πRh 計算球冠體積與曲面表面積 — 部分球形容器、圓頂建築、透鏡設計常用。
眾數計算機（資料集中最常出現嘅值）
貼上一組數值，工具掃描資料集，列出出現次數最多嘅一個或多個眾數（支持單峰、雙峰、多峰），並顯示完整頻率表 — 統計入門、課堂分析同調查結果整理嘅基礎工具。