對數計算機（log / ln / log₂ / 任意底）
輸入一個正數 x 同自訂底 a，即刻得到 logₐ(x) — 同時間並排顯示自然對數 ln(x)（底為 e）、常用對數 log₁₀(x)（底為 10）同二進對數 log₂(x)（底為 2）。下面仲會列出換底公式 logₐ(x) = ln(x) ÷ ln(a) 嘅實際數字代入，以及反運算 aʸ = x 用嚟自我驗算。適合 DSE / IB 數學功課、複利或衰變方程求解、pH／分貝／芮氏地震／資訊熵相關計算。
例如：log₁₀(1000) = 3、log₂(1024) = 10、ln(e) = 1。
x 同 a 必須係正數，而且 a ≠ 1。
自然對數 ln(x)
6.907755
底為 e ≈ 2.71828，常見於微積分、複利、衰變方程。
常用對數 log₁₀(x)
3
底為 10，常見於 pH、分貝、芮氏地震規模。
二進對數 log₂(x)
9.965784
底為 2，常見於電腦科學、資訊理論、八度音。
log₅(x)
4.292030
經換底公式 logₐ(x) = ln(x) ÷ ln(a) 計算。
換底公式
log₅(1000) = ln(1000) ÷ ln(5) = 6.907755 ÷ 1.609438 = 4.292030
反運算驗算
5^4.292030 = 1000
由結果反推：aʸ = x（用嚟確認對數啱）。
公式
logₐ(x) = ln(x) ÷ ln(a) // 換底公式 ln(x) = logₑ(x) // 自然對數，底為 e ≈ 2.71828 log₁₀(x) = log(x) // 常用對數（科學課本嘅 log） log₂(x) // 二進對數，常見於電腦科學 反運算：a^logₐ(x) = x
- · 定義域：x 必須 > 0，底 a 必須 > 0 而且 a ≠ 1。零、負數同 a = 1（會令 ln(a) = 0、分母歸零）都會被工具標為無效。
- · 幾個經常用得著嘅常數：log₁₀(1000) = 3、log₂(1024) = 10、log₂(1,000,000) ≈ 19.93、ln(e) = 1、ln(2) ≈ 0.6931。
- · 換底公式：logₐ(x) = ln(x) ÷ ln(a) = log₁₀(x) ÷ log₁₀(a)。喺實際計算機度只要識用 ln 或 log₁₀ 一個 button 就可以計任何底。
- · 對數對乘除化加減：ln(xy) = ln(x) + ln(y)、ln(x/y) = ln(x) − ln(y)、ln(xⁿ) = n × ln(x)。呢條性質就係十七世紀 Napier 發明對數係為咗將乘法簡化成加法、加快天文計算。
- · 科學應用：pH = −log₁₀([H⁺])、L_dB = 10 × log₁₀(P / P_ref)、芮氏地震規模係 log₁₀（能量比每升一級 ≈ 31.6 倍能量）、資訊熵以 log₂ 計（bit）、複利倍數時間 t = ln(M) ÷ ln(1 + r)。
- · 計算用 JavaScript 內建嘅 Math.log（自然對數），其他底用換底公式由 ln 推。整數冪（例如 log₂(1024) = 10）有時會出嚟 9.9999999… — 工具用 toPrecision(8) 處理，所以顯示返「乾淨」嘅整數。
- · 資料來源：高中數學課本對數定義、IEEE 754 雙精度浮點規範（Math.log 用 base-e）、MDN Math.log / Math.LN10 / Math.LN2 文件。
常見問題
“log” 唔講底，係咪即係 log₁₀？
視乎情境，呢個係慣例陷阱：1) 中學物理、化學、工程課本（pH、分貝、芮氏地震），「log」一般默認係 log₁₀。2) 大學數學、微積分、機率、純數教材，「log」一般默認係 ln（即 logₑ）。3) 電腦科學、資訊論、二分搜尋複雜度，「log」有時默認係 log₂。要避免混淆，最穩陣係寫明底數（log₁₀ / ln / log₂）。呢個計算機四個答案一次過顯示，唔使估。
點樣用換底公式由 log₁₀ 或 ln 計任意底？
換底公式：logₐ(x) = ln(x) ÷ ln(a) = log₁₀(x) ÷ log₁₀(a)。例如想計 log₅(1000)：ln(1000) ÷ ln(5) ≈ 6.9078 ÷ 1.6094 ≈ 4.2920。即係 5⁴·²⁹² ≈ 1000，工具下面嗰個「反運算驗算」就係將呢條反推返出嚟。實際應用：手機計數機通常只有 log（即 log₁₀）同 ln 兩個鍵，靠呢條公式就乜底都計到。
點解 x = 0 或 負數 唔可以取對數？
對數係指數嘅反運算 — logₐ(x) 答緊「a 嘅幾次方等於 x」。如果 a > 0、a ≠ 1，無論次方乘幾，aʸ 永遠係正數，永遠唔會等於 0 或者負數。所以實數範圍內，x ≤ 0 無解。x = 0 嘅極限係 log 趨向 −∞，所以畫圖上 y 軸係漸近線。要真正定義負數嘅 log，要走入複數（Euler 公式：ln(−1) = iπ），中學課程外。呢個工具會將呢類輸入標為無效。
點解 a = 1 都唔可以做底？
如果 a = 1，1 嘅任何次方都係 1。即係 log₁(x) 對於 x ≠ 1 完全冇答案（冇 y 可以令 1ʸ = x），對於 x = 1 就「乜 y 都得」（即係不定式）。換底公式都會崩潰：ln(1) = 0，分母歸零。同樣道理，a ≤ 0 都唔合理（負底會令小數次方變成複數，例如 (−2)^0.5 = √(−2) = i√2）。所以對數嚴格規定 a > 0 且 a ≠ 1。
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