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數學

卡塔蘭數計算機（Catalan Number Cₙ）

卡塔蘭數 Cₙ = (1/(n+1))·C(2n, n) = (2n)! / ((n+1)!·n!) 係組合數學中出現次數最多嘅一條序列之一 — 同時數到「n 對括號嘅平衡排列」「n 個葉嘅滿二叉樹形狀」「(0,0) 到 (n,n) 唔越過對角線嘅單調路徑」「(n+2) 邊形嘅三角化方式」「n 個元素嘅堆疊出棧序列」「Lindström–Gessel–Viennot lemma 嘅標準應用」⋯⋯ 等至少幾十個唔同嘅組合對象。輸入 n（0–1000），工具用 BigInt 算出精確值，順便顯示同等地位嘅 4 個典型解釋同 C₀–C₂₀ 嘅完整序列。

Catalan number Cₙ

132

Sequence

C₀ through C₂₀ for quick reference (max 21 shown).

    What C{n} counts (four equivalent objects)

    • ·—
    • ·—
    • ·—
    • ·—

    References: OEIS A000108; Stanley, Enumerative Combinatorics, §6.2.

    Formula

    Cₙ = (1 / (n + 1)) · C(2n, n) = (2n)! / ((n + 1)! · n!) 遞推：Cₙ₊₁ = Cₙ · 2(2n + 1) / (n + 2) 卷積：Cₙ₊₁ = Σ_{i=0..n} Cᵢ · Cₙ₋ᵢ 漸近：Cₙ ~ 4ⁿ / (n^(3/2) · √π)

    Frequently asked

    點解咁多唔同嘅組合問題答案都係同一條序列？

    因為佢哋本質上同構 — 一定可以「重新標籤」對應到同一個遞迴結構。最常見嘅母結構係 Dyck 路徑（n 步 +1、n 步 −1、永遠唔跌穿零）：(1) 用「(」對應 +1、用「)」對應 −1 → 變平衡括號；(2) 用「行向右」對應 +1、「行向上」對應 −1 → 變唔越過對角線嘅單調格子路徑；(3) 用根節點將子序列分成兩半遞迴 → 變滿二叉樹；(4) 從凸多邊形其中一條邊出發，每個三角化選擇對應一條 Dyck 步 → 變多邊形三角化。所以一旦你發現某問題嘅遞推係 Cₙ₊₁ = Σ Cᵢ·Cₙ₋ᵢ，就基本可以斷定答案係卡塔蘭數。Stanley《Enumerative Combinatorics》§6.2 講解咗 207 種「Catalan 結構」嘅雙射對應。

    卡塔蘭數同二項式係數 C(2n, n) 點計關係？

    直接關係：Cₙ = C(2n, n) / (n + 1) = C(2n, n) − C(2n, n − 1)。直覺上 C(2n, n) 數「2n 步入面揀 n 步上升」嘅所有路徑（包括允許過對角線嘅）；卡塔蘭數淨係要「永遠唔過對角線」嘅子集。著名嘅 reflection principle 證明過咗界嘅路徑同所有由 (0, −1) 開始到 (n, n) 嘅路徑一一對應，剛好係 C(2n, n − 1) 條。所以合格路徑數 = C(2n, n) − C(2n, n − 1)，化簡為 C(2n, n) / (n + 1)。本工具就用呢條 O(n) 公式計算 — 連 n = 1000 都瞬秒返回結果。

    輸入超出 1000 嘅 n 會點？

    本工具限制 n ∈ [0, 1000]，主要係出於 UI 效能：n = 1000 嘅結果已經有 598 位 decimal digits，再大嘅數雖然 BigInt 算到，但 render 速度同實用性會跌得好快。如果你需要更大嘅 Cₙ，可以喺 Python 用 `math.comb(2*n, n) // (n + 1)` 或者 mpmath 嘅 `bin()`；漸近上 Cₙ ~ 4ⁿ / (n^{3/2}·√π)，所以 n = 10⁴ 嘅 Cₙ 大約有 6 014 位數，n = 10⁶ 嘅 Cₙ 大約有 60 萬位數 — 屬於 symbolic mathematics 範疇。日常算法 / 競賽題基本喺 n ≤ 100 範圍內。

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    輸入一組數值，工具排序後計算中位數、第一/第三四分位數、四分位距 IQR 同 1.5×IQR 離群值界限（Tukey 法），係統計箱形圖嘅核心摘要。

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    輸入一組正數，計算調和平均 HM = n / Σ(1/xᵢ) 同對應嘅算術／幾何平均，常用於平均速度、平均比率、平均 P/E 等「分母性質」嘅數據。

    正多邊形計算機（面積、內角、半徑）

    輸入正 n 邊形嘅邊數 n 同邊長 s，工具一次計算內角、外角、內切圓半徑、外接圓半徑、面積同周長，覆蓋三角形、正方形、五邊形、六邊形以至高邊數。