二元一次方程組求解（Cramer's Rule）
輸入 a, b, e, c, d, f 六個係數，工具按 Cramer's rule 計算 ax + by = e 同 cx + dy = f 嘅唯一解：x = Dx / D、y = Dy / D，其中 D = ad − bc、Dx = ed − bf、Dy = af − ec。同步分類三種情況：(1) D ≠ 0 唯一解；(2) D = 0、Dx = Dy = 0 無窮多解（兩條方程描述同一直線）；(3) D = 0、Dx 或 Dy ≠ 0 無解（兩條平行直線）。輸入會用標準數學形式即時呈現方便檢查 — 高中作業、線性代數入門、工程聯立力學問題都用得到。
Your system
2x + 3y = 5 x − y = 1
Equation 1
Equation 2
Every coefficient must be a valid number (zero is allowed).
Solution
—
—
x
—
y
—
Coefficient determinant D
—
D_x
—
D_y
—
Cramer's rule: x = Dx / D, y = Dy / D when D ≠ 0.
Formula
D = a · d − b · c 係數行列式 Dx = e · d − b · f x 列代換右邊 Dy = a · f − e · c y 列代換右邊 x = Dx / D, y = Dy / D 當 D ≠ 0
- · Cramer's rule（克萊姆法則）對 2 × 2 同 3 × 3 嘅小系統最方便；對更大嘅系統（4 × 4 或以上），高斯消元法效能高過行列式法。
- · 幾何解釋：兩條方程式分別代表二維平面入面嘅兩條直線。三種分類對應：相交（唯一交點）、重合（無窮多交點）、平行（無交點）。
- · 行列式 D = ad − bc 亦係由 (a, b) 同 (c, d) 兩個行向量張開嘅平行四邊形「有符號面積」。D = 0 意味住兩行向量平行（線性相關），所以無法唯一定 (x, y)。
- · 係數可以係零，包括 a = 0 或 b = 0 — 例如「3y = 6, x − y = 1」就係 a = 0 嘅有效情況（D = 0 · (−1) − 3 · 1 = −3 ≠ 0，唯一解 x = 3, y = 2）。但兩條方程都「0 = 0」（即 a = b = c = d = 0）就退化到唔成方程組。
- · 工具用相對誤差 1e⁻¹⁰ × max(|係數|)² 作為 D = 0 嘅判定閾值，避免浮點 round-off 將「真正唯一解」誤判為退化。
- · 可以反過來用嚟做「同方程組相容性」檢查 — 將 e、f 設為實驗測量值，如果 D = 0 但 Dx ≠ 0，就代表你嘅兩個觀察互相矛盾。
- · 出處：Anton & Rorres《Elementary Linear Algebra》12e §2.1（Cramer's rule）、§1.2（existence and uniqueness）；Strang《Introduction to Linear Algebra》§3.2。
Frequently asked
我求 D = 0 但 Dx = Dy = 0，到底有冇解？
有 — 而且係無窮多解。D = 0 意味住兩條直線斜率相同（平行或重合），再加上 Dx = Dy = 0 就證實兩條完全重合（同一條直線）— 即係兩條方程式只係「同一條方程嘅倍數寫法」（例如 x + y = 3 同 2x + 2y = 6）。解集係整條直線上嘅所有 (x, y)，我哋可以用 parametric 表達：取其中一個變數做參數 t，例如 x = t、y = (e − a·t) / b（如果 b ≠ 0），t 可以係任何實數。教科書通常會話「解係一個一維子空間」。本工具會明示「無窮多解」而唔係嘗試打印一個唯一嘅 (x, y) 出嚟 — 避免誤導。
Cramer's rule 同高斯消元法（substitution）有咩分別？
結果一樣（都係 (x, y) 同一對數字），但係手算步驟同 numerical robustness 各有取捨：(1) 對 2 × 2 系統，Cramer 寫起嚟簡單清晰（三個行列式 + 兩次除法），尤其符號運算或者批改作業時方便檢查；(2) 對更大系統（4 × 4 以上），Cramer 嘅複雜度係 O(n!)，遠慢過高斯消元嘅 O(n³)；(3) 數值上，Cramer 對 ill-conditioned 系統（D 接近 0）特別不穩定 — 因為要除一個極細嘅數；高斯消元配合 partial pivoting 比較穩。實務上，現代線性代數庫例如 LAPACK 永遠用 LU / QR 分解，唔用 Cramer。但係教學上 Cramer 仲係 standard，因為佢直接連繫住「行列式 = 0 ⇔ 解不唯一」呢個重要概念。
我啲係數係好細嘅小數，會唔會搞錯？
唔會 — 工具用「相對閾值」嚟判斷 D 係咪 0：閾值大約 = 1e⁻¹⁰ × max(|係數|)²。所以即使所有係數都係 0.001 數量級，閾值會自動縮細到 ~1e⁻¹⁶，仲係比 IEEE 754 雙精度浮點嘅精度（~1e⁻¹⁶ relative）穩固。同樣，係數大到 1e⁹ 量級時，閾值會擴大到 ~1e⁸，避免「真正係 0 但 round-off 成 1e⁻³」嘅 D 被當成非零。但如果你打算用接近 0 嘅係數同非常接近平行嘅兩條直線（即 ill-conditioned 系統），結果嘅 x、y 可能有相當嘅相對誤差 — 呢個係 Cramer 法則本身嘅限制，唔係 bug。
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