期望值計算機（E[X] = Σ p·x）
期望值（Expected Value，俗稱「平均數」嘅概率版本）係決策論、博弈、保險、金融以及 A/B 測試嘅核心指標：「如果你重複呢個隨機實驗無限多次，每次嘅結果嘅長期平均值會係幾多」。本工具支援任意數量嘅 (x, p) 對，即場輸出 E[X]、方差 Var(X) = Σ p·(x − μ)²、標準差 σ 同 E[X²]，內附公平骰仔、輪盤、彩票、保險賠付等常見預設。
Common examples (tap to load)
Enter valid (x, p) pairs.
Results
Expected value E[X] = Σ p·x
—
Variance Var(X)
—
Standard deviation σ = √Var
—
- E[X²] = Σ p·x²
- —
- Σ p (should be 1)
- —
- Outcome count n
- —
Universal discrete-RV formulas: E[X] = Σ p·x, Var(X) = Σ p·(x − E[X])², σ = √Var.
Formula
E[X] = Σ pᵢ · xᵢ E[X²] = Σ pᵢ · xᵢ² Var(X) = Σ pᵢ · (xᵢ − E[X])² = E[X²] − (E[X])² σ(X) = √Var(X) （PMF 嘅必要條件：所有 pᵢ ≥ 0，並 Σ pᵢ = 1）
- · 期望值有 linearity 性質：E[aX + b] = a·E[X] + b、E[X + Y] = E[X] + E[Y]（**唔需要** X、Y 獨立）。但 Var 嘅 linearity 需要獨立：Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) 只在 X、Y 獨立時成立。
- · 當 Σ p ≠ 1 時，本工具會發出警告但仍會計 — 因為有時候用戶輸入嘅係「未歸一化嘅權重」（unnormalized weights）。如果係 strict PMF，請先除以 Σ p。
- · 對連續隨機變量，公式變成積分 E[X] = ∫ x·f(x) dx，本工具只支援離散情況。
- · 常見錯誤：將期望值同「最可能嘅結果」混淆。期望值係加權平均，唔需要等於任何一個 xᵢ — 例如骰仔嘅 E = 3.5，但永遠擲唔到 3.5。
- · 「賭場優勢」（house edge）= 對玩家來講係負 E[X]：美式輪盤單號 −5.26%、二十一點（最優策略）約 −0.5%、百家樂莊家 −1.06%、6-deck blackjack ≈ −0.5%。
- · 參考：DeGroot & Schervish《Probability and Statistics》第 4 版第 4.1–4.3 章；Hogg, McKean & Craig《Introduction to Mathematical Statistics》第 8 版第 2.1 章。
Frequently asked
期望值同「最可能嘅結果」有咩分別？
兩者完全唔同。期望值（E[X]）係將每個可能結果按機率加權嘅平均，所以結果通常 **唔等於任何一個實際可能嘅 xᵢ** — 公平骰仔嘅 E[X] = 3.5，但永遠擲唔到 3.5。「最可能嘅結果」係 mode（眾數），即 pᵢ 最大嘅 xᵢ；連續情況下叫 maximum a posteriori 或者分佈嘅 peak。投資、保險、博彩決策應該用 E[X]（因為佢反映重複多次嘅長期表現），但你描述「比較直觀」嘅單次結果應該用 mode 或 median。三者只在對稱、單峰分佈（例如常態）入面會大致相等。
點解「正期望值」嘅遊戲長遠都贏，「負期望值」就長遠都輸？
依據大數定律（Law of Large Numbers）：當你重複一個獨立隨機實驗 n 次，n 次結果嘅樣本均值會 **依概率收斂** 到 E[X]（n → ∞ 時偏離 E[X] 嘅機率趨於 0）。所以一隻有 E[X] > 0 嘅賭局／投資，玩夠多次後，總盈虧幾乎一定係正；E[X] < 0 嘅就反過嚟。要注意嘅係：(1) 「長遠」係指 n 要夠大 — n 越小、波動越大，**單次甚至幾十次都可能逆轉**；(2) 你需要有足夠「資金」抵受短期波動（避免破產），呢個就係 Kelly criterion 同 risk-of-ruin 理論嘅由來；(3) 大數定律唔保證可以「追回」 — 一條負 EV 嘅遊戲輸咗 100 萬，玩多 100 萬次只會輸更多，唔會回本。
我嘅 p 加埋唔等於 1 — 工具仍然會計，咁係咪有問題？
本工具會發出 "Σ p ≠ 1" 警告，但仍然計 — 因為有兩種合法用法：(A) 你輸入嘅係未歸一化嘅「權重」，例如 1, 3, 5 代表「次數比例 1:3:5」。Strict 嚟講你應該每個權重除以總和 (1 + 3 + 5 = 9) 變成 0.111, 0.333, 0.556；本工具直接計嘅話，E[X] 結果會 **大 9 倍**（不準確）。(B) 你漏咗某啲結果嘅 p — 例如骰仔只填咗 1–5（誤以為 6 不存在）。呢個情況真係輸入錯誤，要補返。一個快速 sanity check：如果 Σ p < 1，可能漏咗結果；如果 Σ p > 1，可能機率寫錯（例如將 % 同小數搞錯）。
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貝氏定理機率計算機（Bayes’ Theorem）
輸入先驗機率 P(A)、靈敏度 P(B|A) 同假陽性率 P(B|¬A)，由貝氏定理計算後驗機率 P(A|B)，常用於醫療檢測、垃圾郵件偵測、AI 分類決策分析。
圓弧長度與扇形面積計算機
輸入圓嘅半徑同圓心角（度或弧度），計算對應嘅弧長 s = r·θ、扇形面積 A = ½·r²·θ 同弦長，適用於幾何作業、機械加工同建築佈局。
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