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數學

橢圓面積／周長計算機（Ramanujan 近似）

橢圓嘅面積公式 A = π a b 簡單，但周長冇封閉形式 — 完整答案要用第二類完全橢圓積分。Srinivasa Ramanujan 喺 1914 年提出嘅第二個近似式，喺所有離心率下相對誤差都細過 4 × 10⁻⁵，足以滿足工程、CAD、設計嘅實際需要。輸入半長軸 a 同半短軸 b，工具會即時顯示面積、周長、離心率同長短軸比。

Area A

47.1239

A = π · a · b

Circumference C

25.527

Ramanujan-II approximation

Eccentricity e

0.8

e = √(1 − b²/a²)

Aspect a / b

1.667

Larger = more elongated

Ramanujan's second approximation: relative error < 4 × 10⁻⁵ across all eccentricities.

Formula

A = π · a · b h = ((a − b) / (a + b))² C ≈ π (a + b) · ( 1 + 3h / (10 + √(4 − 3h)) ) (Ramanujan II) e = √(1 − b² / a²)

Frequently asked

點解橢圓周長冇簡單封閉形式？

因為橢圓嘅弧長積分屬於「第二類完全橢圓積分」E(e)，呢個積分證明咗冇辦法用初等函數（多項式、指數、對數、三角函數）表示。實際結果只可以用級數展開、AGM（算術-幾何平均）迭代、或者近似公式得出。Ramanujan 喺 1914 年提出兩條近似式：第一式 C ≈ π[3(a+b) − √((3a+b)(a+3b))] 適合教學；第二式（本工具用）多咗一個有理函數修正，準到誤差 < 4 × 10⁻⁵，係非數學專業領域（CAD、工程、繪圖）最常見嘅選擇。

橢圓嘅離心率代表咩？

離心率 e = √(1 − b²/a²) 量度橢圓有幾「扁」。e = 0 對應正圓；e → 1 對應越來越扁、接近一條線段。物理意義上，e 同兩個焦點嘅位置直接相關：焦點距離中心 c = a·e，所以離心率越大，兩個焦點越遠離中心，圖形越扁。天文上行星軌道離心率：地球 e ≈ 0.0167（接近正圓）、火星 e ≈ 0.0934、水星 e ≈ 0.2056、彗星可達 e > 0.9。橢圓圖形設計（標誌、建築外觀、賽道）常用 0.4 – 0.8 嘅範圍，過於接近 1 會睇起嚟「太扁唔自然」。

我可以用直角坐標方程 x²/a² + y²/b² = 1 直接畫橢圓嗎？

可以，但實際繪圖通常用參數方程 (x, y) = (a cos t, b sin t)，t ∈ [0, 2π)。原因有三：(1) 對所有 t 都有對應點，無需處理「上半／下半」分支；(2) 計算量比 √ 慢嘅平方根少；(3) 等角度取樣下，弧長分佈唔均勻 — 接近半長軸末端嘅地方點較密；如果需要等弧長取樣，要用反 E 積分。CAD／drawing 軟件畫橢圓背後幾乎都係用參數方程加 cubic Bezier 近似；本工具嘅周長公式就係假設你想要嘅係積分後嘅總長度，唔係用點數×步距推算出嚟嘅近似。

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