向量點積（內積）計算機（2D / 3D）
輸入兩個 2D（⟨x, y⟩）或 3D（⟨x, y, z⟩）向量，工具同時計算：點積 a · b、|a|、|b|、cos θ、夾角 θ（度數）、A 喺 B 上嘅純量投影同向量投影，並判斷兩個向量係正交、同向平行、反向平行、銳角定鈍角夾角。係物理（W = F · d 求功）、電腦圖學（光照、法向量測試）、機器學習（cosine similarity）、線性代數作業最常用嘅基本運算。
Fill in every component of both vectors.
Dot product a · b
10
⟨3,4⟩ · ⟨2,1⟩ = 10
—
cos θ
0.8944
Included angle θ
26.57°
|A|
5
|B|
2.236
Scalar projection of A onto B
—
Vector projection of A onto B
—
Formula: a · b = Σ aᵢ·bᵢ = |a|·|b|·cos θ. Used in physics (work W = F · d), computer-graphics lighting, machine-learning cosine similarity, document similarity scoring and more. The URL stores d, ax, ay, az, bx, by, bz so you can bookmark a specific pair.
Formula
a · b = Σᵢ aᵢ·bᵢ (component form) = |a|·|b|·cos θ (geometric form) cos θ = a · b / (|a|·|b|) (求夾角) scalar_proj(a on b) = a · b / |b| (純量投影) vector_proj(a on b) = (a · b / |b|²) · b (向量投影)
- · 點積結果係純量（數字），唔係向量；如要得到向量結果（例如旋轉軸），請用「叉積／外積」（cross product，3D only）。
- · 兩個非零向量正交（垂直）⇔ a · b = 0 — 呢個係檢查垂直最快嘅方法，比手動算斜率方便。
- · cos θ 嘅數值經過 clamping 到 [−1, 1] 避免浮點誤差令 acos() 出 NaN（例如 1.0000000002）。
- · 物理意義：當 F 同 d 都係向量、F 為定力時，功 W = F · d。如果 F ⊥ d（例如重力對水平移動嘅物體），W = 0。
- · 機器學習：將兩個 dot product 除以 (|a|·|b|) 就係 cosine similarity ∈ [−1, 1]，用嚟比較文件、嵌入向量、推薦商品。
- · 幾何上 |scalar_proj| 係 A 投落 B 直線嘅「影」嘅長度；如果為負，代表投影方向同 B 相反。
- · 所有結果同 Stewart Calculus §12.3、Anton & Rorres LA §3.2 嘅標準定義一致。
- · URL 會帶上 d（維度）、ax/ay/az、bx/by/bz 方便書籤同分享相同情境。
Frequently asked
點積同叉積有咩分別？
點積（dot product，a · b）輸出係純量（一個數），用嚟量度「兩個向量幾接近平行」 — 包括 cos θ、投影長度、做功 W = F · d；2D／3D／更高維度都適用。叉積（cross product，a × b）只係 3D（同 7D）先有，輸出係向量，方向遵守右手定則、長度等於 |a|·|b|·sin θ — 用嚟揾兩個向量所定平面嘅法向量，例如算扭力 τ = r × F、面積（平行四邊形面積 = |a × b|）、3D 旋轉軸。簡單講：要「投影」用點積，要「面積／法線」用叉積。
點解夾角永遠係 0° 到 180°，唔會有負角？
因為 acos() 嘅值域係 [0, π]（即 0°–180°）— 而 cos θ 喺呢個區間係「一對一映射」（單調遞減），可以唯一決定 θ。如果你接受負角（例如逆時針旋轉），就要用 atan2(y, x) 或者引入「signed angle」嘅概念 — 但呢個只係喺 2D 有意義（要決定平面正向）。3D 嘅情況下，「兩個向量夾角」嘅自然定義就係兩條方向線之間嘅較小角，所以唔會超過 180°，亦無正負之分。
如果其中一個係零向量，工具會點處理？
點積本身仍然有定義（= 0），但夾角 θ、cos θ、純量投影同向量投影都會係「無定義」，因為零向量無方向 — 唔可以講同邊個向量「成幾多度角」或者「投影到邊條線」。工具會喺呢啲欄位顯示「無定義」，並提示「至少有一個係零向量」。如果你想用呢啲 metrics（例如 cosine similarity），首先要確保兩個向量都唔係零；如果輸入係特徵向量唔小心全部係 0，通常代表數據預處理出咗錯（例如全部減 mean 後再 normalize 之類）。
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圓弧長度與扇形面積計算機
輸入圓嘅半徑同圓心角（度或弧度），計算對應嘅弧長 s = r·θ、扇形面積 A = ½·r²·θ 同弦長，適用於幾何作業、機械加工同建築佈局。
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輸入 2×2 或 3×3 矩陣嘅每個元素，即時用 ad − bc 同沿首列展開（cofactor expansion）求行列式 det(A)，並顯示矩陣可逆性同每步小行列式，方便溫線性代數。
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輸入兩個數值，計算對稱百分比差異 |a − b| / ((|a| + |b|) / 2)，同時對照常見嘅百分比變化 (b − a)/a，避免實驗報告同新聞數字溝亂。
向量叉積計算機（Cross Product, 3D）
輸入兩個三維向量 a、b，計算叉積 a × b、結果向量嘅長度（等於平行四邊形面積）同夾角 sin θ，廣泛用於物理力矩、計算幾何同 3D 圖形學。
兩點距離計算機（2D / 3D 歐氏距離）
輸入平面或空間中嘅兩個點座標，用歐氏距離公式 √Σ(Δᵢ)² 計算直線距離、各軸差值同中點，方便幾何作業、CAD 量度同 GIS 平面距離。
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輸入一組數值，工具排序後計算中位數、第一/第三四分位數、四分位距 IQR 同 1.5×IQR 離群值界限（Tukey 法），係統計箱形圖嘅核心摘要。
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輸入一組正數，計算調和平均 HM = n / Σ(1/xᵢ) 同對應嘅算術／幾何平均，常用於平均速度、平均比率、平均 P/E 等「分母性質」嘅數據。
正多邊形計算機（面積、內角、半徑）
輸入正 n 邊形嘅邊數 n 同邊長 s，工具一次計算內角、外角、內切圓半徑、外接圓半徑、面積同周長，覆蓋三角形、正方形、五邊形、六邊形以至高邊數。
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