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∑
數學

等比數列求和計算機

等比數列（geometric progression）每項都係前項乘以固定公比 r。輸入首項 a、公比 r 同項數 n，即時得出第 n 項 aₙ、前 n 項之和 Sₙ、平均值、無窮項之和（當 |r| < 1）同首 30 項預覽。常用於 HKDSE／IGCSE／A-Level 數學、複利推導、人口指數增長、半衰期、芝諾悖論等情境。

第 n 項 aₙ

512

前 n 項之和 Sₙ

1,023

平均值 a̅

102.3

無限項之和 S∞

—

|r| ≥ 1，無限項之和發散

頭 30 項

至多顯示頭 30 項，後面項可由公式繼續推算。

    aₙ = a · r^(n − 1) Sₙ = a · (1 − rⁿ) / (1 − r) S∞ = a / (1 − r)（當 |r| < 1）

    aₙ = a · r^(n−1)   Sₙ = a · (1 − rⁿ) / (1 − r)   S∞ = a / (1 − r) [|r| < 1]

    等比數列每項都係前項乘以固定公比 r。當 |r| < 1，無限項之和收斂於 a / (1 − r)；否則發散。

    公式

    aₙ = a · r^(n − 1) Sₙ = a · (1 − rⁿ) / (1 − r) （r ≠ 1） Sₙ = n · a （r = 1） S∞ = a / (1 − r) （當 |r| < 1）

    常見問題

    等比數列同等差數列點分？

    等差（arithmetic）每項加固定數值 d — 例如 2, 5, 8, 11 …（公差 +3）。等比（geometric）每項乘固定比例 r — 例如 2, 6, 18, 54 …（公比 ×3）。等差用嚟描述線性增長（每月加薪定額）；等比用嚟描述指數增長（複利、人口翻倍、放射性衰變）。前 n 項和公式：等差用 Sₙ = n/2 · (2a + (n − 1)d)；等比用 Sₙ = a · (1 − rⁿ) / (1 − r)。

    咩情況下無限項之和會收斂？

    當公比嘅絕對值 |r| < 1 時（即 −1 < r < 1），項數愈高每項愈接近 0，前 n 項和 Sₙ 會逐漸逼近一個有限數值，即 S∞ = a / (1 − r)。例如 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 2（首項 1、公比 0.5）。當 |r| ≥ 1，項唔會縮細或會無限增大，加總會發散，沒有有限總和。

    點解 r = 1 要用唔同公式？

    一般公式 Sₙ = a · (1 − rⁿ) / (1 − r) 嘅分母係 1 − r，當 r = 1 時分母變 0，公式不再適用。而 r = 1 時數列係 a, a, a, …（常數數列），前 n 項和明顯為 Sₙ = n · a。本計算機已自動處理呢個邊界情況。

    可唔可以用嚟計複利／年金？

    可以理解原理，但專屬計算機更直接。複利每期本利同係上一期乘以 (1 + i)，即等比數列嘅第 n 項；定額存款年金每期存款都會繼續滾息，總值就係等比數列之和。本站另有「複利計算機」、「年金計算機」、「現值計算機」更貼合呢類用途。

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