標準差／方差計算機
貼入一組數字，即時得出樣本標準差（s，除以 n − 1）同母體標準差（σ，除以 n），同埋平均值、中位數、四分位距、平方和等描述性統計。下面有逐項離差表，方便核對功課或統計報告。
樣本標準差 (s)
2.1381
除以 n − 1（Bessel 修正）— 數據為樣本時使用。
樣本方差 (s²)
4.5714
母體標準差 (σ)
2.0000
除以 n — 數據為整個總體時使用。
母體方差 (σ²)
4.0000
其他描述性統計
- 個數 n
- —
- 總和 Σx
- —
- 平均數 x̄
- —
- 中位數
- —
- 最小值
- —
- 最大值
- —
- 極差
- —
- 第一四分位 Q1
- —
- 第三四分位 Q3
- —
- 四分位距 IQR
- —
- 平方和 Σ(x−x̄)²
- —
- 排序（由細到大）
- —
逐步計算（每項離差同平方）
| i | xᵢ | xᵢ − x̄ | (xᵢ − x̄)² |
|---|
公式
x̄ = Σxᵢ ÷ n SS = Σ(xᵢ − x̄)² // 平方和 s² = SS ÷ (n − 1) // 樣本方差（Bessel 修正） s = √s² // 樣本標準差 σ² = SS ÷ n // 母體方差 σ = √σ² // 母體標準差
- · 揀邊條公式：你嘅數字代表整個總體（例如班入面 30 個同學嘅成績）就用 σ（除以 n）；只係樣本去推總體（民調、抽樣）就用 s（除以 n − 1）。HKDSE 同 IB 通常默認樣本標準差。
- · 貝塞爾修正（n − 1）係用嚟修正樣本方差對總體方差嘅偏低估，n 細嗰陣修正最明顯：n = 5 時 σ 同 s 相差約 12%；n = 100 時只係 0.5%。
- · Q1 / Q3 用 Type-7 線性插值（同 Excel PERCENTILE.INC、Google Sheets PERCENTILE、Python NumPy 嘅 linear 預設一致）。其他統計書可能採用 Tukey 或 Type-6，數值會略有差別。
- · IQR（Q3 − Q1）對極端值較不敏感，常用嚟畫盒鬚圖（box plot）；判定離群值嘅常見規則係 < Q1 − 1.5 × IQR 或 > Q3 + 1.5 × IQR。
- · 所有運算用標準 IEEE 754 雙精度浮點。大量極端值（例如 10⁹ 級數）可能會有微小捨入誤差。
- · 資料來源：Wikipedia「Standard deviation」、NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods §1.3.5、Hyndman & Fan (1996) "Sample Quantiles in Statistical Packages" — Type-7 為 Excel/NumPy/R 預設。
常見問題
我應該用樣本（n − 1）定母體（n）標準差？
簡單規則：你掌握咗 100% 嘅數據就用母體（σ）；如果只係從更大群體入面抽出嚟嘅例子，目標係估計整個群體，就要用樣本（s）。教科書練習題如果無特別講明，預設用樣本標準差；考試題目通常會明確指示。
點解樣本標準差要除以 n − 1 而唔係 n？
叫做貝塞爾修正（Bessel's correction）。樣本平均嗰時，我哋會「用咗一個自由度」喺平均值上，所以剩低 n − 1 個獨立資料。除以 n 會系統性低估真實總體方差；除以 n − 1 令到 s² 成為 σ² 嘅無偏估計（unbiased estimator）。
標準差越大代表越「差」？
唔一定 — 標準差只係量度數據分散程度。對考試分數，標準差小通常代表班級表現平均；但對股票回報，較大標準差代表波動／風險較高。標準差永遠都係非負；如果輸入嘅所有數值都相同，σ = s = 0。
計算機支持幾多個數值？
統計運算本身唔限制數量（瀏覽器可以食到幾萬個點）。為咗保持頁面流暢，下方嘅逐步離差表只展示頭 100 行，但所有統計量都係用完整數據集計算，唔受截斷影響。
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