質因數分解計算機
輸入任何一個 2 至 10¹² 嘅正整數，即時得出佢嘅質因數分解（例如 360 = 2³ × 3² × 5）、判斷質數定合數，仲會列出正因數個數 τ(n)、因數和 σ(n) 以及全部正因數，啱晒做小學至高中數學功課、簡化分數、計 GCD／LCM 同 RSA／數論練習。
請輸入 2 至 1,000,000,000,000 嘅整數。
質因數分解
2³ × 3² × 5
2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
正因數個數 τ(n)
24
τ(n) = Π (eᵢ + 1)，包括 1 同 n。
正因數總和 σ(n)
1,170
σ(n) = Π (pᵢ^(eᵢ+1) − 1) ÷ (pᵢ − 1)。
逐個質因子
| 質因子 | 指數 | 貢獻值 |
|---|---|---|
| 2 | 3 | 8 |
| 3 | 2 | 9 |
| 5 | 1 | 5 |
所有正因數
採用 6k±1 試除法（trial division），對 10¹² 內任意整數都可即時分解。
公式
n = p₁^e₁ × p₂^e₂ × … × p_k^e_k | τ(n) = Π(eᵢ + 1) | σ(n) = Π (pᵢ^(eᵢ+1) − 1) ÷ (pᵢ − 1)
- · 根據算術基本定理（Fundamental Theorem of Arithmetic），每個大於 1 嘅正整數都有唯一嘅質因數分解，順序唔計。
- · 質數定義：除咗 1 同自己之外冇其他正因數；最細嘅質數係 2，亦係唯一嘅偶質數。
- · 使用 6k ± 1 試除法（trial division）：先除 2、3，再用 5, 7, 11, 13 … 至 √n，剩低嘅就一定係質數。
- · 當 n 上限為 10¹² 時，最差情況只需試到 √n ≈ 10⁶ 以下嘅質數，喺瀏覽器即時完成。
- · 因數個數 τ(n) 用每個質因子嘅指數加 1 再相乘；因數和 σ(n) 用等比級數公式可避免重新列出全部因數。
- · 完美數（perfect number）定義為 σ(n) = 2n，例如 6、28、496、8128；可以喺呢度直接驗證。
- · 當因數個數超過 256 個（例如高度合數），為咗版面唔會列出全部，但 τ(n) 同 σ(n) 仍會準確計算。
常見問題
點解淨係支援到 10¹²（一兆）？
因為瀏覽器嘅普通 number 類型只可以精確表示 2⁵³ − 1 ≈ 9 × 10¹⁵ 嘅整數，但試除法要試到 √n。如果 n 太大，最壞情況（即 n 本身係兩個接近 √n 嘅大質數相乘）會試到 10⁸ 以上嘅奇數，喺手機瀏覽器會卡。10¹² 嘅上限令 √n 大概喺 10⁶，最壞情況下都能即時返回。需要更大嘅數可以考慮 Wolfram Alpha、SageMath 或者 Pollard rho／橢圓曲線分解演算法。
點樣用質因數分解計 GCD 同 LCM？
將兩個數分別分解：a = Π pᵢ^aᵢ、b = Π pᵢ^bᵢ。最大公因數 GCD = Π pᵢ^min(aᵢ, bᵢ)，最小公倍數 LCM = Π pᵢ^max(aᵢ, bᵢ)；亦有恆等式 GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b。例如：60 = 2² × 3 × 5、126 = 2 × 3² × 7，GCD = 2 × 3 = 6，LCM = 2² × 3² × 5 × 7 = 1260。
質因數分解可以用嚟簡化分數嗎？
可以。將分子分母都分解，刪除共同質因子（即除咗 GCD），餘下就係最簡分數。例如 84/180：84 = 2² × 3 × 7、180 = 2² × 3² × 5，公因 2² × 3 = 12，所以 84/180 = 7/15。
同 RSA 加密有咩關係？
RSA 嘅安全性建基於「將兩個非常大嘅質數相乘容易、但反向分解返出嚟極之困難」。實際使用嘅 RSA 模數通常係 2048 至 4096 位元（即遠遠超過 10¹²），現有電腦冇可能用試除法分解。呢個工具只啱用嚟做小數例同教學，唔可以分解 RSA key。
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