皮爾遜相關係數計算機
皮爾遜相關係數（Pearson r）量度兩個連續變量 X 同 Y 嘅「線性」關係強度與方向。輸入配對資料，工具即時計算 r、決定係數 r²、最小平方擬合直線（Y = a·X + b）、樣本均值、標準差、共變異，以及檢定 H₀: ρ = 0 嘅 t 統計量同雙尾 p 值。
兩條串列以逗號／空白／換行分隔，長度需要一致。
請輸入至少兩對有效嘅 (X, Y) 數值，並確保 X 同 Y 都有變化（方差 > 0）。
皮爾遜相關係數 r
—
r 介乎 −1 至 +1；數值愈接近 ±1，線性關係愈強。
—
決定係數 r²
—
Y 變異中可由 X 嘅線性關係解釋嘅比例。
最小平方擬合：Y = a·X + b
—
- 斜率 a
- —
- 截距 b
- —
描述性統計
- X 平均 x̄
- —
- Y 平均 ȳ
- —
- X 樣本標準差 sₓ
- —
- Y 樣本標準差 sᵧ
- —
- 樣本共變異 cov(X, Y)
- —
相關性檢定（H₀: ρ = 0）
- t 統計量
- —
- 自由度 df = n − 2
- —
- 雙尾 p 值
- —
採用 t = r · √((n − 2)/(1 − r²))，當 |r| 大、p 值細時拒絕「無相關」嘅原假設。
—
| # | X | Y |
|---|
皮爾遜 r 只反映「線性」關係：若散佈圖明顯彎曲（如二次曲線），r 可以接近 0 但兩者仍有強關係；相關亦唔代表因果。
公式
r = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / √(Σ(xᵢ − x̄)² · Σ(yᵢ − ȳ)²) 回歸：a = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)²; b = ȳ − a·x̄ 顯著性檢定：t = r · √((n − 2) / (1 − r²)), df = n − 2
- · r 介乎 −1 至 +1：+1 表示完美正向線性關係，−1 表示完美反向線性關係，0 代表無線性關係（但唔代表獨立）。
- · r² 解讀為 Y 變異中可由 X 嘅線性回歸解釋嘅比例；例如 r = 0.8 → r² = 0.64，即 64% 嘅 Y 變異可由 X 解釋。
- · 常見強度分類（社會科學）：|r| ≥ 0.7 強、0.4–0.7 中等、< 0.2 極弱；理工或實驗室數據通常要求更嚴格。
- · p 值來自 t = r·√((n−2)/(1−r²))，自由度 n − 2；p < 0.05 通常被視為顯著（雙尾）。樣本大時 p 值會自然細，要留意「顯著」唔等於「重要」。
- · r 只反映「線性」關係：U 形或圓形等非線性模式可能 r ≈ 0 但兩變量仍強相關。建議同時睇散佈圖。
- · 計算對極端離群值非常敏感，因為平方項放大誤差；資料含一兩個 outlier 嘅話，r 值可能誤導，可考慮 Spearman 等基於排序嘅替代方法。
常見問題
r 等於幾多先算「強」相關？
冇統一標準，主要視乎領域。社會科學 / 心理學常用：|r| < 0.2 極弱、0.2–0.4 弱、0.4–0.7 中等、0.7–0.9 強、≥ 0.9 非常強；理工或工程實驗通常會要求更高（例如 r > 0.95 先當「擬合得好」）。樣本量同顯著性（p 值）亦要一齊睇 — 大樣本下細 r 值都可能「顯著」，但對實際意義唔大。
相關係數高代表「有因果關係」嗎？
唔代表。「相關不等於因果」係統計學第一個重要警告。高 r 可能來自共同原因（混淆變量）、巧合、選擇性偏差，或者反向因果（Y 影響 X）。要建立因果關係，需要受控實驗（RCT）或因果推斷方法（如工具變量、自然實驗、雙重差分），單純嘅相關係數不足以做結論。
幾時應該用 Spearman 相關係數，唔用 Pearson？
當資料含明顯離群值、變量為有序但非區間（例如評分 1–5）、或者你預期關係係單調但唔一定線性（例如指數增長、對數型）時，用 Spearman ρ 通常更穩健。Spearman 對原始數值做排序再計 Pearson，所以對 outlier 同非線性單調關係都唔敏感；缺點係冇配套嘅「斜率／截距」回歸解讀，亦失去原始尺度資訊。
最少需要幾多對數據先有意義？
數學上 n = 2 就計到 r（一定係 ±1），但完全冇統計意義。一般建議至少 n = 10 先初步觀察、n = 30 以上先做正式檢定；要可靠估計細效應量（例如 r ≈ 0.2）通常需要 n ≥ 100。樣本愈大，p 值愈容易達顯著，但要記住「顯著」唔等於「重要」 — 大樣本下 r = 0.05 都可以 p < 0.001 但實際意義微乎其微。
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