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數學

取餘數（Modulo）計算機

輸入任意兩個整數，立即計到 a mod n 嘅商同餘數。同時並列三種常見定義（C/JavaScript 嘅 trunc、Python／數學嘅 floor，以及永遠非負嘅 Euclidean），令你清楚見到當 a 或 n 係負數時，唔同語言／教科書點解會得出唔同答案。

C / JavaScript %

向零取整：q = trunc(a/n)，餘數同 a 同號。

餘數 r

2

商 q: 3

17 = 3 × 5 + 2

Python / 數學

向下取整：q = floor(a/n)，餘數同 n 同號。

餘數 r

2

商 q: 3

17 = 3 × 5 + 2

Euclidean（始終 ≥ 0）

餘數固定喺 0 至 |n|−1 之間，數論常用。

餘數 r

2

商 q: 3

17 = 3 × 5 + 2

同時展示三種常見「a mod n」定義 — 處理負數時要特別留意揀邊個。

公式

a = q · n + r，其中 0 ≤ |r| < |n| Truncated（trunc）：q = trunc(a/n)，r 與 a 同號 Floored（floor）：q = floor(a/n)，r 與 n 同號 Euclidean：r ∈ [0, |n|)，由 ((a mod |n|) + |n|) mod |n| 取得

常見問題

點解 −7 mod 3 喺 Python 同 JavaScript 答案唔同？

兩種語言用咗唔同嘅「商」定義。JavaScript（同 C／C++／Java）嘅 `%` 用 trunc：−7 / 3 截斷成 −2，所以餘數 = −7 − (−2)×3 = −1（同 a 同號）。Python（同 Ruby、Haskell、Excel MOD）用 floor：floor(−7/3) = −3，餘數 = −7 − (−3)×3 = 2（同 n 同號）。兩個結果都係「正確」 — 只係定義唔同。本工具會同時展示兩種，方便核對。

何時要用 Euclidean 嘅版本？

當你需要餘數始終非負（落入 0 至 |n|−1 之間）嘅時候。最常見係喺密碼學、雜湊表桶位、循環陣列索引（例如 `arr[(i + offset) mod n]` 想就算 offset 係負都拎正確元素），以及任何「同餘類」計算（modular inverse、Chinese Remainder Theorem 等）。喺呢啲場合，C／JavaScript 嘅 trunc 餘數可能會負，要用 `((a % n) + n) % n` 嚟修正 — 本工具直接幫你計咗呢一步。

可唔可以用小數或者分數做被除數？

本工具只接受整數，因為「餘數」喺絕大多數教科書同編程語言都係喺整數除法嘅 context 入面定義（IEEE 754 嘅 fmod 為例外）。如果你想計浮點餘數（例如 7.5 mod 2.5 = 0），可以喺瀏覽器 console 用 `7.5 % 2.5`，或者喺 Python 用 `math.fmod(7.5, 2.5)`。整數版本嘅好處係冇浮點誤差，而且對應大多數實際應用（時鐘、檢查碼、密碼學）。

快速判斷整除性／奇偶性嘅貼士？

幾條常見規則：(1) 偶數 ⇔ a mod 2 = 0；(2) 被 3 整除 ⇔ 數位總和被 3 整除（例如 1+2+3 = 6，所以 123 被 3 整除）；(3) 被 5 整除 ⇔ 末位係 0 或 5；(4) 被 9 整除 ⇔ 數位總和被 9 整除；(5) 被 11 整除 ⇔ 奇位數位總和減偶位數位總和為 0 或 ±11 嘅倍數。輸入後本工具會即時話你知餘數係咪 0（綠色 banner 顯示「a 可以被 n 整除」），方便驗證。

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