圓錐體積與表面積計算機
輸入圓錐嘅底面半徑 r 同垂直高度 h，即時計到體積 V = ⅓ π r² h、斜高 l = √(r² + h²)、側面積 (π r l)、底面積 (π r²) 同總表面積，順便埋頂角半角。雪糕筒、派對帽、交通錐、漏斗、堆沙……所有「上窄下闊」嘅幾何題都用得著。
半徑同高度都要輸入大過 0 嘅有效數字。
體積 V
314.1593
側面積 A_l
204.2035
底面積 A_b
78.5398
總表面積 A_t
282.7433
斜高 l
13
直徑 d
10
底面周長 C
31.4159
頂角半角 α
22.6199°
公式
l = √(r² + h²) ； V = ⅓ π r² h ； A_l = π r l ； A_b = π r² ； A_t = π r (r + l)
單位由你自己定（cm、m、吋、呎、米都得） — 半徑同高用同一線性單位，面積用「該單位²」，體積用「該單位³」。h 係由底面到頂尖嘅垂直高度，唔係斜邊。1 公升 = 1000 立方厘米。
公式
l = √(r² + h²) | V = ⅓ π r² h | 側面積 A_l = π r l | 底面積 A_b = π r² | 總表面積 A_t = π r (r + l)
- · 呢個工具計嘅係「正圓錐」（right circular cone） — 圓形底面、頂尖喺底面圓心正上方。
- · 輸入嘅 h 係「垂直高度」（軸線長），唔係斜邊。如果你只知斜高 l 同半徑 r，可由 h = √(l² − r²) 倒推。
- · 單位由你自己揀（cm、m、吋、呎、米都得） — 半徑同高用同一線性單位，面積就用「該單位²」、體積用「該單位³」。
- · 1 公升 = 1000 立方厘米 = 0.001 立方米；1 美式加侖 ≈ 3.78541 公升。
- · 總表面積已包含底面 (A_t = π r l + π r²) — 如果你計嘅係「冇底」嘅錐形（例如雪糕筒、派對帽），自行減去 π r²。
- · 頂角半角 α = atan(r / h)；完整頂角 = 2α。雪糕筒一般 α ≈ 8°–12°，交通錐 α ≈ 6°–10°。
- · 公式來源：CRC Standard Mathematical Tables and Formulae（第 31 版）§4.11「Right Circular Cone」；Euclid《幾何原本》第 12 卷命題 10（圓錐體積為同底等高圓柱嘅 1/3）。
常見問題
一個半徑 3 cm、高 12 cm 嘅雪糕筒可以裝幾多雪糕？
代公式：V = ⅓ × π × 3² × 12 = 36π ≈ 113.1 cm³ ≈ 113 ml。實際裝雪糕當然可以「堆高」過個錐口，所以一球 60–80 ml 嘅雪糕配呢個尺寸大致剛好；如果想留多少少留俾頂上嘅球體，計埋頂上半球 V = ⅔ π r³ = 18π ≈ 56.5 cm³ 就齊。
半徑加倍體積會變幾多？高度加倍呢？
高度 h 同體積成正比 — 加倍即係體積亦會加倍。半徑 r 喺公式入面係平方（V = ⅓ π r² h），所以半徑加倍會令體積大 2² = 4 倍。換句話講，一個 r×2 嘅錐裝得落 4 個原本錐嘅雪糕，但 h×2 只裝得落 2 個。圓錐永遠係同底等高圓柱嘅 1/3 體積（Euclid 命題）。
我只知斜高 l 同直徑，點算？
先由直徑除 2 得半徑 r。再用 h = √(l² − r²) 算返垂直高度，然後填入呢個工具。例如派對帽 l = 25 cm、直徑 16 cm（r = 8 cm），h = √(625 − 64) = √561 ≈ 23.7 cm；填入後即時得 V = ⅓ π × 64 × 23.7 ≈ 1587 cm³，側面積 = π × 8 × 25 = 200π ≈ 628 cm² — 即係做張紙樣需要嘅紙面積。
計總表面積點解要包底？我做嘅雪糕筒係冇底嘅。
一個密封實心錐（例如交通錐、堆沙模型）有一個圓底面，所以 A_t = 側面積 + 底面積 = π r (l + r)。如果你做嘅係「冇底」嘅錐形（雪糕筒、派對帽、聖誕樹掛飾），用嘅就只係側面積 A_l = π r l。本工具預設兩個都顯示，按需要自己揀就得。
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