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數學

指數增長／衰減計算機（N = N₀ · e^(kt)）

指數模型 N(t) = N₀ · e^(k·t) 係連續變化嘅基本公式，由細菌、人口、放射性同位素，到連續複利、Newton 冷卻、藥動學一階消除都用得着。輸入 N₀、k 同 t，工具即時計算 N(t)、倍數 e^(kt)、每單位時間變化率，並按 k 嘅符號顯示倍增時間（k > 0）或半衰期（k < 0）。

Value at t — N(t)

164.87

N(t) = N₀ · e^(k·t)

Multiplier e^(k·t)

1.6487

Change per unit time

+5.13 %

Doubling time t_d

13.86

(units = unit of t)

Formula: N(t) = N₀ · e^(k·t). Models continuous compounding, populations, radioactive decay, Newton cooling, first-order pharmacokinetics and more.

Formula

N(t) = N₀ · e^(k · t) 倍增時間（k > 0）：t_d = ln 2 ⁄ k 半衰期（k < 0）：t½ = ln 2 ⁄ |k| 每單位時間變化率：(e^k − 1) × 100 % 反解時間：t = ln(N ⁄ N₀) ⁄ k

Frequently asked

連續增長率 k 同年增長率 r 有咩分別？點解 e^k ≠ 1 + r？

「年增長率 5 %」可以有兩個意思。離散版（discrete）：每年 31/12 同上年比較增加 5 %，公式係 N(t) = N₀ × (1 + 0.05)ᵗ；連續版（continuous）：每一個瞬間都按 5 %/年嘅速率複合，公式係 N(t) = N₀ × e^(0.05·t)。連續版會稍微大啲，因為「複利又複利」嘅次數無限多 — 100 × e^0.05 ≈ 105.127，相對於 100 × 1.05 = 105 高 0.127 %。要將兩者對齊：r_discrete = e^k − 1，亦即 k = ln(1 + r)。生物學、放射性、物理常用 k；金融常用 r。如果你由報表攞到 APY 5 %，想代入呢個工具，就要先 k = ln(1.05) ≈ 0.04879。

我得知半衰期，點樣反解 k？反之又點？

兩條公式互為倒數：t½ = ln 2 ⁄ |k|，所以 |k| = ln 2 ⁄ t½ ≈ 0.6931 ⁄ t½。注意半衰期一定係正數，而衰變嘅 k 係負數，所以 k = −ln 2 ⁄ t½。實例：(1) Tc-99m（核醫常用顯影劑）半衰期 6.01 hr → k ≈ −0.6931 ⁄ 6.01 ≈ −0.1153 /hr，6 hr 後剩約 50 %、12 hr 後約 25 %；(2) 撲熱息痛血漿半衰期 ≈ 2 hr → k ≈ −0.347 /hr，4 hr 後血藥約剩 1/4，符合臨床「每 4–6 小時 dose」嘅理據。倍增時間做相同處理：t_d = ln 2 ⁄ k，k = ln 2 ⁄ t_d。「規則 72」係呢條公式對年化離散增長率嘅近似（年增長 r % 倍增時間 ≈ 72 ⁄ r 年），用 ln 2 ≈ 0.6931 加 Taylor 展開導出。

幾時要轉用 logistic 模型（S-curve）而唔再用純指數？

指數模型嘅前提係「資源不限」— 即 dN/dt = k·N，每個個體可以自由分裂同消耗資源。現實上幾乎所有增長最終都會撞到 carrying capacity K（食物、空間、市場飽和），增長就會減慢成 S 形。Verhulst 1838 提出嘅 logistic 模型 dN/dt = k·N·(1 − N/K) 就係加入呢個飽和項；早期（N ≪ K）退化返純指數，後期（N → K）漸近至 K。實務經驗：(1) 細菌培養喺富營養培養液初期係指數，但 12–24 hr 後撞到 K 變 logistic；(2) 新技術／病毒採用曲線（COVID 確診、TikTok 用戶）開頭似指數，後段見 inflection point；(3) Moore's Law 表面似指數，但 2010 後晶體管縮小已撞到原子尺度 K — 模型需要更新。判斷準則：如果 N/K 已超過 ~10 %，純指數就會明顯偏高，建議改用 logistic 或者直接拎實測數據 fit。

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