餘弦相似度計算機（Cosine Similarity）
餘弦相似度 cos θ = (a · b) / (‖a‖ · ‖b‖) 係量度兩個向量「方向幾接近」嘅標準指標 — 同向量長度無關、只關心夾角。值域 [−1, 1]：+1 代表同方向、0 代表正交、−1 代表反方向。本工具支援任意維度 n，並一併輸出角度、餘弦距離（1 − cos θ）同角距離（θ / π）。
Comma, space, semicolon or newline separated. Any dimension n ≥ 1 is supported, but a and b must have the same length.
Examples (click to load)
Enter two non-zero numeric vectors of the same dimension.
cos θ
—
—
Similarity scale
Angle θ: —
Dimension n
—
Dot product a · b
—
‖a‖ · ‖b‖
— · —
Distance metrics
- Cosine distance (1 − cos θ)
- —
- Angular distance (θ / π)
- —
cos θ ∈ [−1, 1]; for non-negative feature vectors (TF-IDF, pixel counts) it usually lands in [0, 1]. Angular distance is a true metric — it obeys the triangle inequality.
Formula
cos θ = (a · b) / (‖a‖ · ‖b‖) = Σᵢ aᵢbᵢ / √(Σᵢ aᵢ²) · √(Σᵢ bᵢ²)
- · 輸入要求：兩個向量維度需相同；每個元素都係有限實數；至少一個元素非零（零向量無方向，cos θ 未定義）。
- · 尺度不變：將任一向量乘以正常數 k，cos θ 不變。所以可用於比較「長短不一」嘅 embedding 或 word-count 向量。
- · 餘弦距離 d_cos = 1 − cos θ，值域 [0, 2]；對於正向量（如 TF-IDF、像素計數）只會落喺 [0, 1]。
- · 角距離 d_θ = arccos(cos θ) / π，值域 [0, 1]，係單位球面上嘅真 metric — 滿足三角不等式（d_cos 一般不滿足）。
- · 同 Pearson 相關係數嘅關係：當兩個向量分別減去平均值後再計 cos θ，結果就等於 Pearson r。
- · 來源：Manning, Raghavan & Schütze《Introduction to Information Retrieval》（CUP 2008）§6.3；Wikipedia: Cosine similarity。
Frequently asked
餘弦相似度同歐氏距離（Euclidean distance）邊個好？
視乎你想量度「方向相近」定「位置相近」：(1) 對 NLP / TF-IDF / embedding：通常用 cosine — 因為文件嘅 word count 同文件長度有強相關，cos θ 嘅尺度不變性可以將「短文章 + 長文章」公平比較。例如 [1,1] 同 [100,100] cos θ = 1，但歐氏距離大成 100√2。(2) 對「位置」有絕對意義嘅特徵（例如 GPS 座標、像素位置）：用歐氏距離。(3) 經 ℓ2-normalisation 之後嘅向量 (‖v‖=1)，兩者係單調等價：‖a − b‖² = 2(1 − cos θ)，所以排序結果一樣 — 呢個就係 OpenAI / Sentence-BERT 等 embedding 設計成 normalised 嘅原因。
點解我嘅 cosine 數值好高（例如 0.9+）但 retrieved 結果好差？
常見原因：(1) **向量空間維度過高 + 稀疏**（high-dim sparse）：好多 dim 都係 0，少數共現嘅 dim 可以將 cos θ 推得好高，但其實只係 IDF 高嘅詞重疊。解決：用更好嘅 vectorizer（BM25、dense embedding）或者過濾停用詞 / 高頻特徵；(2) **集中性**（concentration of measure）：高維 random vectors 嘅 cos θ 都係細數，但 trained embedding 通常聚埋一坨，0.7–0.95 可能只係 baseline。解決：睇相對排名而唔係絕對門檻；(3) **冇做 dimensionality matching** — 如果一個向量係 sparse 一個 dense，數值對唔上；(4) embedding 同你嘅 domain 唔 match — 例如用通用 NLP embedding 去搵醫學文獻。
係咪一定要 ℓ2-normalise 個向量先算 cosine？
數學上：唔需要 — cos θ 公式已經除咗 ‖a‖·‖b‖，所以未 normalise 嘅向量答案完全相同。實務上：通常會預先 normalise，因為：(1) 之後可以直接用 dot product 嚟搵 nearest neighbours — `<a, b>` = cos θ — 配合 FAISS、ScaNN 等 ANN 索引快好多；(2) 避免重複計算 ‖v‖；(3) 一啲庫（例如 PyTorch `F.cosine_similarity`）內部都係先 normalise 再做 dot product。如果你嘅 pipeline 已經 normalise（OpenAI embeddings、CLIP、Sentence-BERT 都係），就毋須再 normalise。
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