矩陣行列式計算機（2×2 同 3×3）
行列式（determinant）係方陣嘅一個純量，可即時判斷矩陣係咪可逆、線性方程組有冇唯一解，亦對應由列向量張成嘅平行四邊形／平行六面體嘅有向面積或體積。本工具支援 2×2 同 3×3 矩陣 — 輸入每個元素，即時用 ad − bc 或沿第一列嘅餘子式展開求 det(A)，並顯示每步小行列式，方便對答案、溫書或檢驗手算結果。
Matrix A
Please fill in every cell of the matrix with a valid number.
Determinant det(A)
−2
Invertible (det ≠ 0)
Working
det = a·d − b·c
If det(A) ≠ 0 the matrix is invertible and the linear system A·x = b has a unique solution; det(A) = 0 means the rows/columns are linearly dependent.
Formula
2×2：det = a·d − b·c 3×3（沿第一列展開）：det = a₁₁·M₁₁ − a₁₂·M₁₂ + a₁₃·M₁₃，其中 Mᵢⱼ 為去掉第 i 行第 j 列後嘅 2×2 子矩陣嘅行列式。
- · 2×2：det([[a,b],[c,d]]) = a·d − b·c — 即兩條對角線乘積之差。
- · 3×3 沿第一列展開：符號模式為 +、−、+ — 即 det = +a·M₁₁ − b·M₁₂ + c·M₁₃。
- · 若 det(A) ≠ 0，矩陣可逆，A·x = b 有唯一解；若 det(A) = 0，矩陣奇異（singular），列向量／行向量線性相依。
- · 交換任意兩行（或兩列）會將 det 變號；將某一行（列）乘以常數 k，行列式同樣乘以 k；將一行加上另一行嘅常數倍，det 不變。
- · 三角矩陣（上 / 下三角）或對角矩陣嘅 det = 對角線元素相乘。
- · 幾何意義：|det(A)| = 由列向量張成嘅平行四邊形（2D）或平行六面體（3D）嘅面積／體積；正負號代表方向／手性。
- · 公式來源：Strang《Introduction to Linear Algebra》第 5 章；Anton & Rorres《Elementary Linear Algebra》第 11 版第 2 章。
Frequently asked
行列式可以用嚟做咩？
三件最常用嘅事：(1) 判斷可逆性 — det(A) ≠ 0 即 A 可逆，A·x = b 有唯一解，否則無解或有無窮多解；(2) 克拉默法則（Cramer's rule）— 用 det 比例去解小型線性方程組 xᵢ = det(Aᵢ) / det(A)；(3) 幾何度量 — |det(A)| 等於由列向量張成嘅平行四邊形面積（2×2）或平行六面體體積（3×3），喺微積分嘅變數變換（Jacobian）裡面亦會用到。對大型矩陣（4×4 以上）通常用 LU 分解計 det，而唔係手動展開。
點解 3×3 行列式嘅展開項符號係 +、−、+？
因為餘因子（cofactor）嘅符號 = (−1)^(i+j)，i、j 由 1 開始計。沿第一行展開時 i 固定為 1，所以符號跟住 (−1)^(1+1)、(−1)^(1+2)、(−1)^(1+3) 變化，即 +、−、+。如果你選擇沿第二行展開，符號就會係 −、+、−（仍然會得到相同嘅 det 值，因為行列式對任何一行展開都係等價嘅）。本工具固定用第一行，與大部分教科書習慣一致。
如果行列式係 0，係咪代表矩陣冇用？
唔係。det = 0 表示「矩陣係奇異嘅 / 不可逆」— 即列（或行）向量線性相依、A·x = b 唔可以用 A⁻¹ 直接解。但呢類矩陣本身仍有用：例如投影矩陣（將 3D 投到 2D）必然 det = 0 但好有用；圖論裡面拉普拉斯矩陣總係 det = 0；機器學習嘅低秩近似亦故意產生奇異矩陣。det = 0 只係告訴你「呢個矩陣冇可逆」，未必等於「冇意義」。
本工具點解只支援到 3×3？
2×2 同 3×3 係課程中最常出題、亦最容易手算嘅大小 — 用本工具核對答案最直接。4×4 或以上嘅行列式展開項數會急劇增加（4×4 有 24 項、5×5 有 120 項），手算誤差大，業界一般用 LU 分解或 Gauss 消元法以 O(n³) 計算，而非展開為餘子式。如果你需要大型矩陣計算，可以用 NumPy 嘅 np.linalg.det()、MATLAB 嘅 det()、或者 Excel 嘅 MDETERM 函數。
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