階乘末尾零個數計算機（Legendre 公式）

百分比、加減百分比、變化率三合一。

輸入 2 至 6 個正整數，即時得出最大公因數（HCF／GCD）同最小公倍數（LCM），並列出輾轉相除法步驟。

輸入一組數字，同時計到平均數、中位數、眾數、極差，連同標準差、方差同總和。

輸入 ax² + bx + c = 0 嘅三個係數，即時得到實根或複根、判別式同頂點。

輸入密碼，估算位元熵、暴力破解所需時間同強度等級。所有計算喺瀏覽器內完成。

輸入十進制數字或者科學記號，得到對方表示方式同有效數字、數量級等資訊。

計排列 P(n,r)、組合 C(n,r) 同階乘 n!，常用於概率、抽獎、密碼組合題目。

輸入一組數字，計平均值、中位數、樣本／總體方差同標準差，附逐步公式。

由 3 邊、2 邊 1 角或 2 角 1 邊解三角形其餘部分、面積同周長（正／餘弦定律）。

已知直角三角形任意兩邊（兩條直角邊或一條直角邊加斜邊），即時求第三邊、面積、周長同兩個非直角嘅角度。

輸入半徑、直徑、周長或面積任一個，即時計另外三個 — 設計、工程、家居皆用得着。

阿拉伯數字（1–3999）與羅馬數字 (I, V, X, L, C, D, M) 雙向換算 — 適用於排版、書名章節、考試補習。

輸入兩個點 (x₁, y₁) 同 (x₂, y₂)，即時計斜率、y 截距、直線方程、兩點距離同中點 — 初中、高中數學常用。

輸入人數 n，即時計算房間入面至少兩人同一個生日嘅機率 — 經典生日問題。

計算 logₐ(x) — 自動顯示自然對數 ln、常用對數 log₁₀、二進對數 log₂ 同自訂底，並列出換底公式步驟。

輸入觀測值、平均數同標準差，計 Z 分數同對應嘅常態分布百分位／概率。

輸入解析度同對角線吋數，計螢幕嘅像素密度（PPI）、實際闊／高、點距同總像素。

輸入注數同揀號方式（單式／複式／膽拖），計到頭獎、二獎到安慰獎嘅實際中獎機率。

輸入小數（包括循環小數），即刻轉換做最簡分數同混合分數。

輸入球體嘅半徑、直徑、表面積或者體積，即刻計返其餘三個量，加埋大圓周長同大圓面積。

輸入半徑同高，計算圓柱體體積 (π r²h)、側面積、底面積同總表面積。

輸入 n 同 r，計算 nPr（有順序揀 r 個項目嘅排列數），同 n! / r! 比較。

輸入任何 2 至 10¹² 嘅正整數，即時分解成質因數連乘式，並列出所有正因數同因數和。

輸入一組正數，計算幾何平均（n 個數之積開 n 次方），同對應嘅算術平均一齊比較 — 適合年化回報率、成長率同比率。

輸入 0 至 1500 嘅整數 n，即時用 BigInt 計到 F(n)、F(n−1)、相鄰比例（收斂到黃金比例 φ），同前 30 項完整序列。

揀骰子數量、骰面（d4／d6／d8／d10／d12／d20）同目標點數，計算掟到該總和、最少／最多嘅機率。

輸入首項 a、公差 d 同項數 n，計算第 n 項 aₙ 同前 n 項總和 Sₙ = n/2·(2a + (n − 1)d)。

輸入信心水平、誤差範圍同預期比例（可選母體大小），計算問卷調查所需樣本數。

輸入首項 a、公比 r 同項數 n，計算等比數列前 n 項之和；公比小於 1 時亦可計算無限項之和。

輸入底半徑與高度，即時得出圓錐體積、斜高、側面積、底面積、總表面積。

輸入音名（C、C♯、D…）、八度同調音標準 A4 (預設 440 Hz)，用 f = A4 × 2^((n − 69)/12) 算頻率 (Hz)、波長同 MIDI 編號。

輸入兩個已知點 (x₁, y₁) 同 (x₂, y₂)，再輸入目標 x，即時用 y = y₁ + (x − x₁)(y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) 估算對應嘅 y；自動標示內插同外推。

輸入梯形上底、下底同高度，即時計算面積、中位線同周長（已知斜邊或角度時）。

輸入試驗次數 n、單次成功機率 p 同想要嘅成功次數 k，計算 P(X = k)、P(X ≤ k)、P(X ≥ k) 同分布嘅平均、標準差。

貼上兩組數據（X 同 Y），計算皮爾遜相關係數 r、決定係數 r²、最佳擬合直線斜率同截距、樣本均值同標準差。

輸入樣本平均、樣本標準差、樣本大小同信心水平，用 t 或 z 分布計樣本平均數嘅信賴區間、誤差範圍同標準誤。

輸入兩組嘅平均數、標準差同樣本量，計算 Cohen's d 同 Hedges' g 效應值，並按 Cohen 1988 標準分類為極細／細／中／大效應。

輸入被除數 a 同除數 n，計算 a mod n 嘅商同餘數，並同時列出「向下取整」（floor，數學定義）、「向零取整」（trunc，C/JavaScript %）同「Euclidean」三種結果以揭示負數時嘅差別。

揀 user / group / other 嘅讀 / 寫 / 執行權限，即時得到八進制（如 755）同符號（如 rwxr-xr-x）兩種表示法。

輸入 2D 或 3D 向量分量（x, y, z），計算向量大小、單位向量同方向角。

輸入實驗值同理論值（accepted value），即時計算百分誤差、絕對誤差同帶符號嘅相對誤差；亦可切換到 percent difference 模式比較兩個冇真值參考嘅量度結果。

輸入平均事件率 λ 同事件數 k，計算 P(X = k)、P(X ≤ k)、P(X ≥ k)、平均值、變異數、標準差，用於排隊論、客服中心、罕見事件預測等場景。

輸入先驗機率 P(A)、靈敏度 P(B|A) 同假陽性率 P(B|¬A)，由貝氏定理計算後驗機率 P(A|B)，常用於醫療檢測、垃圾郵件偵測、AI 分類決策分析。

輸入圓嘅半徑同圓心角（度或弧度），計算對應嘅弧長 s = r·θ、扇形面積 A = ½·r²·θ 同弦長，適用於幾何作業、機械加工同建築佈局。

輸入 2×2 或 3×3 矩陣嘅每個元素，即時用 ad − bc 同沿首列展開（cofactor expansion）求行列式 det(A)，並顯示矩陣可逆性同每步小行列式，方便溫線性代數。

輸入兩個 2D 或 3D 向量，即時計算點積、夾角、純量投影同向量投影，並提示是否正交、平行或反向。

輸入兩個任意維度嘅數值向量，計算 cos θ = (a·b) / (|a|·|b|)，並轉換為角度距離，廣泛用於 NLP、推薦系統、文件相似度評分。

輸入兩個數值，計算對稱百分比差異 |a − b| / ((|a| + |b|) / 2)，同時對照常見嘅百分比變化 (b − a)/a，避免實驗報告同新聞數字溝亂。

輸入兩個三維向量 a、b，計算叉積 a × b、結果向量嘅長度（等於平行四邊形面積）同夾角 sin θ，廣泛用於物理力矩、計算幾何同 3D 圖形學。

輸入平面或空間中嘅兩個點座標，用歐氏距離公式 √Σ(Δᵢ)² 計算直線距離、各軸差值同中點，方便幾何作業、CAD 量度同 GIS 平面距離。

輸入一組數值，計算變異係數 CV = σ / μ × 100%（標準差除以均值），用嚟比較唔同單位或量級嘅資料離散程度，常見於實驗重複性同投資組合風險評估。

輸入一組數值，工具排序後計算中位數、第一/第三四分位數、四分位距 IQR 同 1.5×IQR 離群值界限（Tukey 法），係統計箱形圖嘅核心摘要。

輸入一組正數，計算調和平均 HM = n / Σ(1/xᵢ) 同對應嘅算術／幾何平均，常用於平均速度、平均比率、平均 P/E 等「分母性質」嘅數據。

輸入一組類別嘅機率或頻次，計算 Shannon 熵 H = −Σ pᵢ log₂ pᵢ（bits）、最大可能熵同歸一化熵，用於資訊理論、機器學習決策樹同密碼分析。

輸入正 n 邊形嘅邊數 n 同邊長 s，工具一次計算內角、外角、內切圓半徑、外接圓半徑、面積同周長，覆蓋三角形、正方形、五邊形、六邊形以至高邊數。

輸入 n，計算第 n 個卡塔蘭數 Cₙ = (2n)! / ((n+1)! · n!) — 計算機科學常用，數括號配對、二叉樹形狀、Dyck 路徑等組合問題嘅標準解。

輸入一組實際值同對應預測值，工具同時計算 MAE、MSE、RMSE、R² 同 MAPE，用於機器學習回歸評估、銷售預測同實驗對比，仲會講解三個指標嘅敏感度差異。

輸入 ax + by = e 同 cx + dy = f 嘅 6 個係數，工具用 Cramer 法則計算 x, y、行列式 D 同分類情況（唯一解 / 無解 / 無窮多解），同步顯示步驟方便檢查作業。

輸入單次事件機率 p 同重複次數 n，工具計算「至少出現一次」嘅機率 1 − (1 − p)ⁿ、預期次數 np，以及達到目標機率所需嘅試驗次數 — 適用於抽獎、Gacha、A/B 測試、安全冗餘設計。

輸入觀察次數同期望次數，工具計算卡方統計量 χ² = Σ (O − E)² / E、自由度同 p 值，判斷觀察分佈係咪顯著偏離理論分佈 — 適用於骰仔公平性、Mendel 遺傳比例、A/B 測試類別計數等檢驗。

輸入一組「結果值 x」同對應「機率 p」，工具計算離散隨機變量嘅期望值 E[X] = Σ p·x、方差 Var(X)、標準差 σ — 用於賭場、保險、投資決策、A/B 測試等概率問題嘅基礎指標。

輸入樣本量 n、樣本比例 p（或樣本標準差）同信心水平（90 / 95 / 99 %），工具計算誤差幅度 MOE = z·√(p(1−p)/n) 同對應信心區間 — 民調、A/B 測試、市場研究嘅核心統計量。

輸入一組數字，工具計算平均絕對偏差（Mean Absolute Deviation, MAD）= 平均(|xᵢ − x̄|) — 比標準差更直觀嘅離散度指標，常見於中學統計課同需求預測。

輸入 (x, y) 數據點，工具用最小二乘法擬合線性迴歸並計算 R² 決定係數、斜率、截距同 Pearson 相關係數 r — 評估「自變數解釋幾多 % 變異」嘅標準工具。

輸入底面尺寸同高度，工具一次過計算正方、長方、三角形或任意正 n 邊形錐體嘅體積、底面積、斜高、側面積同總表面積（V = ⅓ × 底面積 × 高）。

輸入底邊同高，或兩邊加夾角，工具用 A = b × h 或 A = a × b × sin(θ) 一次過計平行四邊形嘅面積、周長同對角線長度。

輸入橢圓半長軸 a 同半短軸 b，工具用 A = π a b 計面積，並用 Ramanujan 第二式估算周長同離心率 — 相對誤差小於 4×10⁻⁵。

輸入 Z 分數，工具一次過算單尾（左／右）同雙尾 P 值，並顯示對應顯著水準 α = 0.05 / 0.01 / 0.001 嘅判斷 — 假設檢定嘅關鍵步驟。

輸入球體半徑 R 同球冠高度 h，工具用 V = πh²(3R − h)/3 同 A = 2πRh 計算球冠體積與曲面表面積 — 部分球形容器、圓頂建築、透鏡設計常用。

貼上一組數值，工具掃描資料集，列出出現次數最多嘅一個或多個眾數（支持單峰、雙峰、多峰），並顯示完整頻率表 — 統計入門、課堂分析同調查結果整理嘅基礎工具。

輸入初值 N₀、連續增長率 k 同時間 t，工具計算 N(t) = N₀·e^(kt)、每單位時間變化率、倍增時間（k > 0）或半衰期（k < 0）— 用於人口、細菌、放射性衰變、藥動學一階消除、連續複利等指數模型。

輸入任意正整數 n，工具用 Collatz 規則（偶數 ÷ 2、奇數 × 3 + 1）逐步迭代直到 1，並列出完整序列、所需步數同途中峰值 — 數論、編程練習、課堂演示常用例題。

輸入正整數 n，工具用 Tₙ = n(n+1)/2 計出第 n 個三角形數，或反向：輸入任意正整數 N，判斷佢係邊個三角形數，或夾喺邊兩個之間 — 數學競賽、組合學同握手問題嘅基本工具。

輸入正整數 n，工具用 Σᵢ₌₁ⁿ i² = n(n+1)(2n+1)/6 直接計出前 n 個正整數嘅平方和，同時顯示前 n 個立方和（用 [n(n+1)/2]²）同算術和 — 數學歸納法、級數同統計問題嘅基本恆等式。

輸入任意長度，工具用黃金比例 φ ≈ 1.6180339887 將佢分為「長段 a」同「短段 b」滿足 a/b = (a+b)/a，並反向：輸入兩段查實際比例係咪接近 φ — 設計、攝影、版面同數學課堂常用工具。

輸入三角形嘅兩邊一夾角（SAS）或三邊（SSS），工具用 c² = a² + b² − 2ab·cos C 解出未知邊或角，並列出全部三條邊同三個角 — 測量、建築、導航嘅基本三角形工具。

輸入木材厚度（吋）、闊度（吋）同長度（呎），工具用 BF = (T × W × L) ⁄ 12 計算每件嘅板呎、總板呎、立方體積（ft³／m³）同總價，幫木工、家具製作、DIY 愛好者預算木材成本。

輸入三角形三邊 a、b、c，工具用 r = A ⁄ s（內切圓半徑）同 R = abc ⁄ (4A)（外接圓半徑）計算內外圓半徑、圓心位置同三角形面積（Heron 公式）— 幾何題、機械工程、建築設計常用工具。

輸入底數 a、指數 b 同模數 n，工具用快速冪（square-and-multiply）演算法計算 a^b mod n，支援大數（BigInt）— RSA 密碼學、雜湊、模算術練習嘅核心工具。

輸入 a 同模 n，工具用擴展歐幾里得算法計出 a 嘅模反元素（即 a·x ≡ 1 (mod n)）同 gcd(a, n)，並列出 Bézout 等式 — RSA 私鑰生成、中國剩餘定理、解線性同餘方程必備。

輸入 IPv4 地址同 CIDR 前綴長度（例如 192.168.1.10/24），工具自動算出子網遮罩、網絡地址、廣播地址、可用主機範圍同總主機數 — 網絡管理員、系統工程師日常必備。

輸入分子同分母（例如 48 ⁄ 60），工具用最大公因數（GCD）約分至最簡（4 ⁄ 5），亦輸出帶分數、小數、百分比三種等價表示 — 小學至中學數學作業速查工具。

輸入行號 n（由 0 開始），工具列出該行嘅二項式係數 C(n,0) C(n,1) … C(n,n)，亦同步顯示行和（2ⁿ）、最大值同對應嘅 (a+b)ⁿ 展開 — 組合數學、概率分佈、二項式定理嘅速查工具。

輸入兩角一邊（AAS／ASA）或兩邊一非夾角（SSA — 含可能模稜兩可情況），工具用 sin A ⁄ a = sin B ⁄ b 解出未知邊或角，並列出全部三邊三角同三角形面積 — 配合本站「餘弦定理」工具覆蓋所有 SAS／SSS／AAS／ASA／SSA 解三角形情境。

輸入一組數據（逗號分隔），工具計算平均數、中位數、眾數同樣本標準差，並輸出皮爾遜第一偏態係數（用眾數）同第二偏態係數（用中位數，3·(平均 − 中位) ⁄ SD） — 數據科學、品質管制、心理測量學常用嘅分佈對稱性指標。

貼上一組數據，工具計算 Q1、Q3、IQR，然後依 Tukey「1.5 × IQR」規則列出溫和離群值（fences ±1.5 IQR）同極端離群值（fences ±3 IQR），並標示箱形圖嘅鬚範圍 — 探索性資料分析（EDA）、品質管制、數據清洗嘅標準步驟。

輸入兩個樣本嘅平均值、標準差同樣本數，工具同時計算 Welch t-test（等變異唔成立）同 Student pooled t-test 嘅 t 統計量、自由度同雙尾 p-value — 對照實驗、A/B 測試、臨床試驗結果比較最常用嘅推論統計。

輸入兩組相對應數值，工具將每組轉換為等級（平均處理 tie），按 Pearson 公式套用喺等級上得 Spearman's ρ — 非參數方法，量度單調關係強度，對極端值穩健，無正態性假設。

輸入週期增長率 r（百分比），工具用 t = ln 2 ⁄ ln(1+r) 計出價值翻倍所需嘅期數 — 比 Rule of 72 嘅近似式更準確，適用於人口、GDP、投資、細菌培養等指數增長場景。

輸入樣本標準差同樣本數，工具按 SEM = s ⁄ √n 計算平均數標準誤差，並俾出 95 % 信賴區間（μ ± 1.96 × SEM）— 統計報告、A/B 測試、論文圖表 error bar 嘅標準計算。

常見問題：「100 係邊個數嘅 40%？」「加 8% 後係 540，原價幾多？」工具同時處理「原值反推」、「百分比反推」、「增 / 減 N% 後反推」三類最常用嘅反向百分比情境。

輸入勝率 p、賠率 b（淨賠率）同銀碼，工具按 f* = (bp − q) ⁄ b 計出凱利最優投注比例同建議下注金額（可選分數凱利 ¼ / ½）— 賭博、量化投資、撲克玩家管理 bankroll 嘅黃金標準。

輸入 12 小時制時間，工具按 |30·H − 5.5·M| 計出時針同分針之間嘅夾角度數（取小角度 0–180°）— 經典面試／奧數問題，亦可用嚟設置鐘錶教學圖。

輸入多邊形邊數 n，工具按 (n − 2) × 180° 計出內角總和；如為正多邊形再計每個內角等於總和 ÷ n、每個外角等於 360° ÷ n — 中學幾何同建築鋪砌設計常用工具。

輸入兩點（或一個斜率＋一個點），工具同時輸出該直線嘅三種標準形式：斜截式 y = mx + b、一般式 Ax + By = C（整數係數）同點斜式 y − y₁ = m(x − x₁) — 美式高中代數、SAT、SSAT 題目最常見嘅題型轉換。

輸入平面三個點嘅 (x, y) 坐標，工具用外接圓公式計出唯一經過三點嘅圓心 (h, k) 與半徑 r — 並輸出標準式 (x − h)² + (y − k)² = r² — 幾何、CAD、製圖、機械工程實用工具。

輸入長期平均到達率 λ、停留時間 W 或在隊伍中嘅平均數 L 中任意兩個，工具按 L = λ × W 求出第三個 — 排隊論、敏捷團隊 WIP 管理、客服／餐廳人手規劃嘅入門公式。

輸入網路頻寬同往返時延（RTT），工具按 BDP = Bandwidth × RTT 計算「飛行中位元數」並轉換成位元組同 KB／MB — TCP socket 緩衝區、窗口大小、CDN 預取調校嘅基礎參數。

輸入兩段文字，工具計出將一個字串轉成另一個所需嘅最少編輯次數（插入 / 刪除 / 取代），同埋相似度百分比 — 拼寫檢查、模糊匹配、抄襲偵測、DNA 序列比對嘅基礎演算法。

輸入總運行時間同失效次數，工具計出平均失效間隔 MTBF = 總時數 ÷ 失效次數、失效率 λ 及指數可靠度 R(t) = e^(−t ⁄ MTBF) — 設備、伺服器、產線可靠性工程嘅標準量度。

輸入兩段等長字串或位元序列，工具逐位比對並回傳「漢明距離」（不同位數量）— 錯誤碼、DNA 序列、雜湊比對、編碼理論最基礎嘅距離度量。

輸入多邊形頂點 (x, y) 座標（順時針或逆時針排列），工具按 Gauss 鞋帶公式 A = ½|Σ(xᵢ·yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁·yᵢ)| 計算面積 — 適用於土地測量、地圖學、GIS、CAD 與遊戲幾何。

輸入兩點 (x₁, y₁) 同 (x₂, y₂)，工具即時計算中點 M = ((x₁+x₂)⁄2, (y₁+y₂)⁄2)、歐幾里得距離 d = √((Δx)² + (Δy)²) 同斜率 m = Δy⁄Δx — 幾何作業、測量、GIS、CAD 都用得到。

輸入正四面體邊長 a，工具計算體積 V = (a³⁄(6√2))、表面積 A = √3·a²、高度 h = a·√(2⁄3) 同內接／外接球半徑 — 結晶學、分子幾何（甲烷 CH₄）、有機化學、幾何題常用。

輸入大底半徑 R、細底半徑 r 及高度 h，工具計算圓錐台體積 V = πh(R² + Rr + r²) ⁄ 3、側面斜長 ℓ、側面積、頂底圓面積同總表面積 — 紙杯、燈罩、漏斗、水塔常用。

輸入被開方數 x 與根次 n，工具計算實數 n 次方根 x^(1/n)，並處理負數＋奇數根、分數根、複數情況提示 — 三次根、五次根、立方根、實對數常用。

輸入號碼字串，工具按 Luhn 算法（mod-10 雙倍校驗）驗證合法性，並可由前 N − 1 位反推合法嘅校驗位 — 信用卡（Visa、Mastercard、Amex）、手機 IMEI、加拿大 SIN 等都採用呢個校驗。

輸入 ISBN-13（含或不含校驗位），工具按 mod-10 (1, 3) 加權算法計算正確嘅第 13 位，並驗證輸入字串係咪合法 ISBN-13 — 圖書館員、出版業、書店做書目管理常用。

輸入任意正整數，工具反覆將每個位數加總，直至得到單一位數（數字根 / digital root）— 同時顯示每一步加總、生命靈數、mod 9 等價關係。

輸入承載量 K、初始量 N₀、內稟增長率 r 同時間 t，工具按 Verhulst 邏輯斯諦方程 N(t) = K / (1 + ((K−N₀)/N₀)·e^(−rt)) 計算當前數量、增長率同至飽和半時 — 適用於人口、流行病、初創用戶曲線、化學反應等任何受承載量限制嘅增長。

輸入 2×2 矩陣 [[a, b], [c, d]]，工具用閉合公式 A⁻¹ = 1/det(A) × [[d, −b], [−c, a]] 計算逆矩陣同行列式（det = ad − bc）；行列式為 0 時報告矩陣不可逆。

輸入兩點 (x₁, y₁) 同 (x₂, y₂)（可選 z 坐標延伸到 3D），工具用 M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) 計算中點坐標、兩點距離（歐幾里得）同斜率（2D） — 中學坐標幾何、CAD 製圖、遊戲座標常用。

揀立體形狀（球、立方、圓柱、圓錐），輸入尺寸，工具同時計算表面積（球 4πr²；立方 6a²；圓柱 2πr² + 2πrh；圓錐 πr² + πrl）同體積 — 漆油、包裝、薄膜、保溫材料用量估算必備。

輸入不良品數（defects）同機會總數（opportunities），或者直接輸入 DPMO，工具同時計算良率（yield）、處於正態分佈下嘅 sigma level（含 1.5σ 長期偏移） — Motorola／Lean Six Sigma 製程能力評估標準工具。

輸入環面主半徑 R（環中心到管中心）同管半徑 r，工具用 V = 2π²Rr² 同 SA = 4π²Rr 同時計算環面體（torus／甜甜圈形狀）嘅體積、表面積 — 用於水管彎頭、橡膠 O-ring、汽車輪內胎、磁鐵環等等。

輸入三次方程 ax³ + bx² + cx + d = 0 嘅四個係數，工具用 Cardano-Tartaglia 公式求出全部三個根（實根或共軛複根），並顯示判別式 Δ 同根嘅性質。

輸入多組「數值 + 權重」配對，工具計加權平均數 Σ(xᵢwᵢ) ⁄ Σwᵢ — 同單純算術平均唔同，重要嘅項目可以佔比更大。常用於成績平均、投資組合報酬、品質評分。

輸入上限 N（最大斜邊 c），工具用 Euclid 公式 a = m²−n²、b = 2mn、c = m²+n² 列出所有「原始畢氏三元數」(primitive triples — gcd(a,b,c)=1)，並可選顯示非原始倍數。

輸入圓柱嘅半徑 r 同高 h，工具計算總表面積（兩個圓底 + 側面）、側面積（lateral）、單個圓底面積，並換成 cm²、m²、in²、ft² 四個常用單位。

輸入外半徑 R 同內半徑 r，工具計算環形面積、外圓面積、內圓孔面積同環形闊度，亦顯示 mm²／cm²／m²／in²／ft² 多單位結果 — 適用於墊圈、油封、跑道、年輪計算。

輸入兩位父母嘅基因型（例如 Aa × Aa），工具列出後代嘅基因型同表型比例，並顯示 2×2 Punnett 方格。

輸入隱性表型頻率 q²（或顯性等位基因頻率 p），工具用 p + q = 1、p² + 2pq + q² = 1 還原出三種基因型（純合顯性、雜合、純合隱性）嘅預期比例同攜帶者頻率。

輸入目標分數、已得分、已用 over 同總 over 數，工具計算所需 run rate（RRR）、現時 run rate（CRR）、餘下 ball 數同每球需得分（runs per ball），方便板球迷追數同預測比賽結果。

輸入投手嘅自責分（earned runs）同投球局數（innings pitched），工具用 ERA = (ER × 9) / IP 計算每 9 局自責分嘅標準化指標 — MLB、NPB、KBO、CPBL 同國際棒總一致使用嘅核心投手評估數據。

輸入十個 frame 嘅倒瓶數，工具按 World Bowling／USBC 規則處理 strike（X）同 spare（/）嘅 bonus 計分，並支援第十 frame 嘅 fill ball，即刻畀出每 frame 累計分同最終總分。

輸入傳球嘗試（ATT）、完成（CMP）、總碼數（YDS）、達陣（TD）同抄截（INT），工具用 1973 年 NFL 正式採用嘅四成份加權公式計算 0–158.3 嘅 passer rating，並顯示對應評級（perfect 158.3 至 poor）同四個分項分數。

輸入計劃生產時間、實際運轉時間、理想週期時間、總產量同良品數，工具用 OEE = Availability × Performance × Quality 計出整體設備效能（world-class ≥ 85%），即製造業同精益管理（TPM／lean）嘅核心 KPI，並逐項顯示三個因素分數。

輸入打者平均分（average）、聯賽基準（base，常用 200 或 220）同差點百分比（常用 80 %、90 % 或 100 %），工具用 handicap = max(0, ⌊(base − average) × percent / 100⌋) 計算每場應加分 — USBC、World Bowling 同絕大多數聯賽嘅標準計法，仲計埋多場 series 嘅差點總分。

輸入近 20 場成績、球場 Course Rating 同 Slope Rating，工具用世界差點系統（WHS，USGA / R&A 2020）Rule 5 取最好 N 場 differential 嘅平均，計出官方 Handicap Index。

輸入基準字體大小（px / rem）同階梯比例（minor third 1.2、major third 1.25、perfect fourth 1.333、golden ratio 1.618 等），工具生成完整一套排版字級（h1–h6、small、caption）— 設計師、開發者必備。

輸入十進制數同位元寬度（8 / 16 / 32 / 64 bit），工具計算對應嘅二補碼二進制、十六進制表示，並顯示該位元寬度可表示嘅範圍 — CS 學生、嵌入式開發者必備。

輸入兩個 2D 或 3D 向量分量，工具用 cos θ = (u · v) / (|u| × |v|) 計算夾角（度同弧度），同時顯示點積、模長 — 圖形學、物理、機械、機器人入門必備。

輸入兩個 2D 或 3D 向量 u、v，工具用 proj_v(u) = ((u · v) / |v|²) × v 計算 u 在 v 上嘅投影向量同純量投影（scalar projection） — 物理力學分解、3D 圖形學常用。

貼上一組 (x, y) 數據點，工具用最小平方法計算最佳擬合直線 y = m × x + b 嘅斜率、截距、皮爾遜 r、決定係數 R²，加埋斜率／截距嘅標準誤同任意 x 嘅預測值 — 實驗數據分析、A/B 測試趨勢評估、工程曲線擬合必備。

輸入函數 f(x)、積分上下限 a、b 同細分數 n（偶數），工具用複合辛普森 1/3 法則 (h/3)[f₀ + 4Σf_odd + 2Σf_even + fₙ] 計算定積分，誤差 O(h⁴) — 工程、物理、統計實務嘅標準工具。

輸入 A、B 兩組嘅樣本量同成功次數，工具計算合併比例、Z 統計量、雙尾 P-值同差異嘅 95% 信賴區間 — A/B 測試、市場研究、臨床試驗判斷統計顯著性必備。

輸入真陽性、假陽性、假陰性、真陰性嘅 2×2 計數，工具計算敏感性、特異性、陽性／陰性預測值、似然比、Youden 指數同整體準確率 — 醫療檢測、機器學習分類評估必備。

輸入 f(x) 同其導數 f′(x)、初始猜值 x₀ 同容忍誤差，工具用牛頓迭代法 x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f′(x_n) 求出 f(x) = 0 嘅根、每步嘅迭代值同收斂判斷 — 數值分析經典工具。

輸入成功次數 x 同樣本量 n，工具用 Wilson 評分公式計算二項比例嘅 95% 信賴區間 — 即使小樣本或極端比例都比 Wald (normal-approx) 區間穩健，A/B 測試、民調、排名系統皆適用。

輸入三角形三個頂點嘅 (x, y) 座標，工具給出重心座標 G = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3)、三邊長、三條中線長度同面積（鞋帶公式） — 幾何教學、CAD、結構平衡點計算必備。

輸入連續函數 f(x)、左右端點 a 同 b（要求 f(a)·f(b) < 0）同容忍誤差，工具用二分法（將區間反覆對半切）逼近 f(x) = 0 嘅根、列出每一步嘅中點同符號變化 — 收斂率線性但極為穩健，係數值分析嘅入門求根算法。

輸入被積函數 f(x)、積分區間 [a, b] 同分割數 n，工具用複合梯形法 ∫f ≈ (h/2)·(f₀ + 2f₁ + … + 2f_{n-1} + f_n) 估算定積分，並同 Simpson 法、矩形法做收斂率比較 — 數值方法入門必學工具。

輸入菱形嘅兩條對角線（或者邊長 + 夾角），工具用 A = ½ d₁ d₂、A = s² sin θ 等公式計算面積、周長、邊長 — DSE、IGCSE、SAT 必背幾何公式。

輸入長 (L)、闊 (W)、高 (H)，工具計出長方體嘅體積 V = LWH、表面積 S = 2(LW + WH + LH)、空間對角線 d = √(L² + W² + H²)，同所有面對角線 — 數學、包裝箱、貨櫃、家具尺寸估算最基本嘅幾何計算。

輸入半徑同圓心角（度或弧度），即時得出扇形面積、弧長、周界、弦長同弓高 — 設計、工程、幾何作圖、雷達覆蓋圖常用。

輸入半徑同圓心角，計算弓形（弦同弧之間嘅面積）面積、弦長、弓高（sagitta）同周界 — 機械設計、管道部分填充、土木弧形構件估算必備。

輸入中間矩形長度 L 同半圓半徑 r，工具用 A = πr² + 2rL 同 P = 2πr + 2L 計算體育場形（discorectangle）嘅面積、周長同總長 — 田徑跑道、體操場地、藥丸形物體必備幾何工具。

輸入單次成功機率 p 同試驗次數 k，工具用 P(X=k) = (1−p)^(k−1)·p、P(X≤k) = 1−(1−p)^k 計算幾何分佈嘅機率質量、累積機率、期望值 1/p 同變異數 (1−p)/p² — 重試／品檢／賭局首勝模型必備。

輸入總體 N、成功類個數 K、抽樣數 n 同觀察成功 k，工具用 P(X=k) = C(K,k)·C(N−K,n−k) / C(N,n) 計算超幾何分佈機率、累積機率同期望／變異數 — 撲克牌、品檢、彩票、生態標記再捕獲模型核心。

輸入兩組樣本嘅大小 n₁、n₂ 同標準差 s₁、s₂，工具用 s_p = √[((n₁−1)·s₁² + (n₂−1)·s₂²) / (n₁ + n₂ − 2)] 計算合併標準差、合併變異數同自由度 — 雙樣本 t 檢定、效應量 Cohen's d、meta-analysis 必備預處理步驟。

輸入正八面體（regular octahedron）嘅邊長 a，工具用 V = (√2/3)·a³ 計算體積、A = 2√3·a² 計算表面積、內切球同外接球半徑 — 結晶學、骰子設計、幾何教學常用柏拉圖立體之一。

輸入 x，工具用 sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2、cosh x = (eˣ + e⁻ˣ)/2、tanh x = sinh x / cosh x 即時計算 sinh、cosh、tanh、coth、sech、csch — 相對論勞侖茲變換、懸鏈線、機器學習啟動函數常用。

輸入正整數 n，工具透過質因數分解計算 φ(n) = n·∏(1 − 1/p)（n 嘅唯一質因數 p）— 即 [1, n] 入面同 n 互質嘅整數個數，係 RSA 加密、歐拉定理同數論基礎。

輸入兩個整數 a、b，工具用擴展歐幾里得算法計算 gcd(a, b) 同 Bézout 系數 (x, y) 使得 a·x + b·y = gcd(a, b)；當 gcd = 1 時亦同時給出 a⁻¹ mod b — RSA、Diffie-Hellman 同模算術必備。

輸入正整數 n，工具用史特靈公式 ln(n!) ≈ n·ln n − n + ½·ln(2πn) 計算 ln(n!) 同 n! 嘅估值，並對小 n 提供精確值同相對誤差 — 統計物理、組合數學、機率論必用。

喺十進制、二進制同反射二進制格雷碼（Gray code，G = N ⊕ (N >> 1)）之間互換 — 旋轉編碼器、卡諾圖、量子位元、容錯計數系統嘅基本工具。

輸入斜邊上限，用歐幾里得公式 a = m² − n²、b = 2mn、c = m² + n² 列出所有滿足 a² + b² = c² 嘅整數三元組（原始 + 倍數），並用顏色標示原始解。

揀輪盤類型（歐式 0、美式 0／00、法式 0 + en-prison）、下注金額同投注類型（紅／黑、單／雙、列、街、分注、直注…），工具立即計出每次旋轉嘅期望值、莊家優勢百分比，同長線預期損失 — 賭場數學嘅標準教學工具。

輸入 3×3 矩陣嘅 9 個元素，用餘子式展開（Laplace expansion）即時計算行列式 det(A)、伴隨矩陣（adjugate）同 — 如行列式非零 — 逆矩陣 A⁻¹；亦顯示 Sarrus 對角線速算演示。線性代數、變數變換 Jacobian、體積／面積、克拉默法則必用工具。

輸入一組同餘方程 x ≡ a₁ (mod m₁)、x ≡ a₂ (mod m₂)…，工具用擴展歐幾里得算法處理任意模數（唔需要兩兩互質），求出唯一最小非負解 x 同合併模數 M = lcm(m₁, m₂, …)；若系統無解會明確報告。古典「韓信點兵」、RSA／密碼學、節氣／曆法計算嘅核心算法。

輸入整數 n，工具求出調和級數第 n 項部分和 H_n = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n 嘅精確分子分母（BigInt）、十進制近似值，同 Euler-Mascheroni 公式 H_n ≈ ln(n) + γ + 1/(2n) − 1/(12n²) 嘅誤差比較 — 算法分析（快速排序、優惠券收集問題）、級數收斂理論嘅基礎。

輸入 f(x)、兩個初始猜值 x₀ 同 x₁ 同容忍誤差，工具用割線法做迭代逼近 f(x) = 0 嘅根 — 不需要解析導數，亦無需區間包夾，係 Newton-Raphson 同 Bisection 之間嘅實用折衷。

輸入一階 ODE dy/dx = f(x, y)、初值 (x₀, y₀)、步長 h 同終點 x_end，工具用前向歐拉法逐步積分輸出全部離散步嘅 (x_n, y_n) — 數值方法入門、物理模擬、人口模型最常見嘅教學工具。

輸入一組 (x, y) 數據點同目標 x，工具用拉格朗日公式 P(x) = Σ y_i · ∏_{j≠i}(x − x_j)/(x_i − x_j) 構造過全部點嘅唯一 n − 1 次多項式，並計算 P(x) — 數值方法、實驗數據擬合、缺失值補插嘅標準工具。

輸入實數 x 算 sigmoid σ(x) = 1/(1+e⁻ˣ) 同其導數 σ′(x) = σ(x)(1−σ(x))，或者輸入機率 p ∈ (0,1) 反算 logit(p) = ln(p/(1−p)) — 邏輯回歸、神經網絡、Bayesian 統計、流行病學 odds ratio 嘅核心轉換。

輸入標準差倍數 k（≥ 1），工具用切比雪夫不等式算出「任何 *有限方差* 分布下，數據偏離均值至少 k 個標準差嘅機率上限 ≤ 1 / k²」— 唔需要假設常態分布，係統計、機器學習、風險管理嘅穩健分布尾部界。

輸入兩個集合 A、B（逗號／分號／換行分隔），工具自動去重後計算傑卡德相似度 J(A, B) = |A ∩ B| / |A ∪ B|、傑卡德距離 1 − J，並列出交集、A − B、B − A — 文本相似、推薦系統、生物多樣性、影像分割 IoU、A/B 測試對照集嘅標準量度。

輸入 3×3 矩陣 A 嘅 9 個元素，工具先算行列式 det(A)（沙路斯法則），再用伴隨矩陣公式 A⁻¹ = adj(A) / det(A) 得到逆矩陣；若 det(A) = 0 則標示為奇異矩陣 — 線性代數、3D 幾何變換、最小平方法常用工具。

輸入 2×2 矩陣 [[a, b], [c, d]]，工具解特徵方程 λ² − (a + d)λ + (ad − bc) = 0 得兩個特徵值（實數或共軛複數），再算對應特徵向量 — 動力系統穩定性、PCA、馬可夫鏈長期分佈分析嘅基礎工具。

輸入兩個 n 維向量 a、b（逗號／空白／分號分隔），工具計算曼哈頓（出租車／L¹）距離 d = Σ|aᵢ − bᵢ|，並對比 Euclidean (L²)、Chebyshev (L∞) 距離 — 機器學習特徵距離、棋盤路徑、城市出行、Lasso 正則化、k-近鄰算法嘅基礎度量。

輸入起點 (lat₁, lon₁) 同終點 (lat₂, lon₂) 嘅經緯度（十進度），工具用標準球面三角公式計算初始大圓方位角（°，自北順時針），同時輸出反向方位角及最接近嘅 16 方位羅盤點 — 航海、航空、無人機、徒步登山、無線電方向追蹤嘅基本導航量度。

輸入首項 a₁、公差 d 同項數 n（或末項 aₙ），工具用 Sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ) = n/2 · (2a₁ + (n−1)d) 計算前 n 項之和、末項、平均值，並列出前 10 項以驗證 — 中學數學、財務分期累計、體育訓練週期、編程算法分析基礎。

輸入 P(A)、P(B) 加埋聯合概率 P(A∩B)（或 P(A|B) / P(B|A) 其中一個），工具會用 P(A|B) = P(A∩B)/P(B) 同 Bayes 公式雙向換算，並輸出 P(A∪B) 同獨立性檢測 — 統計推論、機器學習、醫學檢測、Naive Bayes 分類嘅基礎運算。

輸入 3 條三元一次方程嘅係數矩陣 A（3×3）同常數向量 b（3×1），工具用 Cramer 法則 x_i = det(A_i) / det(A) 求出唯一解 (x, y, z)，並顯示主行列式同每個替換行列式 — 中學線性代數、工程方程組嘅標準教學工具。

輸入一階 ODE dy/dx = f(x, y)、初值 (x₀, y₀)、步長 h 同終點 x_end，工具用古典四階龍格－庫塔公式（每步 4 個 k 值加權平均）逐步積分輸出全部離散步 (x_n, y_n) — 比歐拉法準確 4 個數量級，係物理模擬、軌道計算、控制工程嘅工業標準 ODE 解算器。

輸入紙張單張厚度（典型 A4 0.1 mm）同對摺次數 N，工具用指數公式 thickness × 2^N 計算最終厚度同對比現實高度（人、建築、山、地球—月球距離），直觀展示指數增長嘅威力。

輸入三角分佈嘅最小值 a、眾數 c、最大值 b，工具計算均值 (a+b+c)/3、變異數、標準差、PDF / CDF 同 P(X ≤ x) — 係項目管理 PERT 三點估算、風險分析最常用嘅連續分佈。

輸入連續均勻分佈嘅下限 a 同上限 b，工具計算均值 (a+b)/2、變異數 (b−a)²/12、標準差、PDF 1/(b−a)、CDF 同 P(X ≤ x)、區間概率 P(c ≤ X ≤ d) — 模擬、抽樣、Monte Carlo、隨機數產生嘅基礎分佈。

輸入索引 n，工具計算 Lucas 數 L(n) — 與 Fibonacci 同遞推關係 L(n) = L(n−1) + L(n−2)，但起始值為 L(0)=2、L(1)=1；常用於數論、組合學同 Fibonacci 恆等式推導。

輸入元素數 n，工具計算錯排數 !n — 即所有元素都唔停留喺原位置嘅排列總數，公式為 !n = n! · Σ_{k=0..n} (−1)ᵏ/k!，係著名嘅 hat-check（信件配對）問題答案。

輸入直線一般式 Ax + By + C = 0 同點 (x₀, y₀)，計算垂直距離 d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²) — 中學幾何、CAD、機械工程、電腦繪圖最常用嘅基本距離公式。

輸入正整數 N，工具用埃拉托色尼篩法精確計出 π(N)（≤ N 嘅質數總數），並對比質數定理近似值 N / ln(N) 同對數積分 li(N) — 數論、密碼學、競賽數學嘅基本工具。

輸入比例 A : B = C : X 三個已知值，工具用交叉相乘 X = B × C / A（直接）或 X = A × B / C（反比例）解出未知第四項 — 食譜換算、地圖縮放、貨幣兌換、人手 × 天數等日常比例題嘅最古老解法。

輸入被積函數 f(x)、積分區間 [a, b] 同子區間數 n，工具用中點法（在每個子區間中央取 f）加總得近似定積分 — 對比 Simpson 法 / 梯形法收斂級數 O(h²)，係 quadrature 入門講義最常用方法之一。

輸入正整數 n₁, n₂, …, nₖ，工具計算多項式係數 C(n; n₁, n₂, …, nₖ) = (n₁ + n₂ + … + nₖ)! / (n₁! n₂! ⋯ nₖ!) — 推廣二項式係數，係多項式展開、組合計數、概率（多項式分佈）嘅基本量。

輸入物件數 n 同容器數 k，工具用 *隔板法（stars and bars）* 計算「將 n 個相同物件放入 k 個容器嘅方法數」— 容器可空時 C(n + k − 1, k − 1)、容器非空時 C(n − 1, k − 1) — 係生成函數、概率多重選擇、Diophantine 計數嘅基礎組合公式。

輸入兩個三維空間點 (x₁, y₁, z₁) 同 (x₂, y₂, z₂)，工具計算歐幾里得距離 √((Δx)² + (Δy)² + (Δz)²)、平方距離、各座標軸分量同單位方向向量 — CAD、3D 建模、機械臂、無人機航線、遊戲開發、物理模擬嘅基礎工具。

輸入一組數據同一個目標值，工具用 NIST 標準公式 PR = (B + 0.5 · E) / N × 100 計算目標值喺數據集中嘅百分位排名 — 考試成績、體檢報告、表現評核、收入排名、ML feature 標準化嘅常用量度。

輸入訊息同移位 N（1–25），工具用古典凱撒密碼公式 E(x) = (x + N) mod 26 即時加密 / 解密，保留大小寫、非字母字符（標點、空格、數字）原樣輸出。

輸入一組數值（逗號或換行分隔），工具計算中位數、MAD = median(|xᵢ − median|)、按 σ̂ ≈ 1.4826 × MAD 估算嘅穩健標準差，並用「3·MAD」法則自動標示離群值 — Hampel 1974、Leys 2013 嘅穩健統計做法，對 outlier 嘅抵抗力遠勝普通標準差。

輸入百分位 p ∈ (0, 1)（例如 0.975），工具用 Acklam 1.5×10⁻⁹ 精度近似算出對應嘅標準常態 z 分數（z = Φ⁻¹(p)），同時顯示「以 μ ± σ 為單位」嘅截值 — 用於統計假設檢定、信賴區間、A/B 測試樣本量、品管管制圖。

輸入任意數字同所需有效位數（1–15），工具按 IUPAC / 科學寫法規則做 round-half-up 四捨五入，並輸出標準寫法、科學記號（mantissa × 10ⁿ）同小數寫法 — 用於物理 / 化學實驗報告、工程量測、有效位數一致性檢查。

輸入服務可用率（例如 99 %、99.9 %、99.99 %、99.999 %），工具計算每年、每月、每週、每日對應允許停機時間（秒／分／時）— 配合常見「Nines」表（99 % = 3.65 日／年、99.9 % = 8.77 小時／年、99.999 % = 5.26 分鐘／年）方便 SRE、雲端設計、合約談判。

輸入頭獎金額、中獎機率（例如 1 / 292,201,338）同彩票價錢，工具用 EV = (Jackpot × P) − Ticket Price 算出每張票嘅期望值；可選加入稅率同分享機率調整 — 適合 Powerball、Mega Millions、EuroMillions、Mark Six 等。

輸入硬幣朝上機率 p、總投擲次數 n 同連續長度 k，工具用 Feller 嘅 run-of-k 遞推式精算「至少出現一次連 k」嘅機率 — 適合分析賭博連勝、棒球連續打擊、A/B test 中嘅連勝偏差等。

輸入坡度任一表達方式（百分比 %、度數 °、ratio 1: n、或者 rise/run），工具同步讀出其餘三個 — 行山、單車、無障礙坡道（ADA／BS 8300）、屋頂排水都會用到。

輸入相框外框尺寸、相片開窗尺寸同襯紙風格（置中／博物館底重式），即時計算四邊襯紙寬度，方便裁切定購買標準襯紙。

輸入自己同對手嘅 Elo 評分、比賽結果（勝／和／負）同 K-factor（10／20／40），按 FIDE 標準 Elo 公式算出評分變化同對手獲勝期望值。

輸入剩餘題數、每題選項數同負分扣分規則（無扣分／扣 1/4 分 / 扣 1/n 分），算出純猜嘅期望分數同建議策略 — SAT / GRE / TOEFL / HKDSE 應試 reference。

輸入彩票嘅號碼池大小（n）同需要揀嘅號碼數（k，可加 bonus ball），即時算出中頭獎嘅組合數同「1 in X」格式機率。適用於 Powerball、Mega Millions、UK Lotto、Mark Six 等。

輸入正整數 n，用 (n(n+1)/2)² 公式即時計到首 n 個正整數立方之和。

輸入 a、b、c 三個係數，計算拋物線頂點 (h, k)、對稱軸、判別式、y 截距及實根（若存在）。

輸入兩個根 r₁、r₂ 同首項係數 a，工具自動展開成標準式 y = ax² + bx + c，並顯示頂點、對稱軸同根之和／積（Vieta's formulas）。

雙向換算試算表欄位：字母（A、Z、AA、AMJ）↔ 編號（1、26、27、1024），用於宏編程、公式定位、CSV 索引對應。

輸入兩個複數 a + bi 同 c + di，即時計加、減、乘、除結果，並輸出模長、幅角（角度／弧度）同極式表示。

輸入圓盤數量 n 同每步時間，即時得出搬完整座河內塔嘅最少步數 (2ⁿ − 1)、所需時間同數值對照表。

輸入訊息同關鍵字（key），即時得出維吉尼亞多字母替換密碼嘅密文／明文 — 經典 16 世紀「不可破解」密碼，現時用嚟教加密入門。