Z 分數（標準分）計算機
Z 分數（又叫標準分／standard score）將一個觀測值轉換成「距離平均幾多個標準差」，以便同其他分布做比較。輸入觀測值、平均數同標準差，即可得出 Z、常態分布百分位、單尾／雙尾 p 值。
預設為 IQ 130（平均 100、標準差 15）→ Z = 2，百分位約 97.7%，即「100 個人入面排第 2、3 位」。
請輸入有效嘅數字，標準差須大於 0。
Z 分數（標準分）
2.00
正數＝高於平均、負數＝低於平均；±1 內屬常見、±2 開始顯著、±3 已罕見。
百分位（常態分布）
97.7%
即低於 x 嘅個案百分比。例：95 即代表「比 95% 嘅人高」。
單尾 p（≤ x）
單尾 p（≥ x）
雙尾 p（|Z| ≥ |z|）
常態分布假設下、隨機抽中比 x 更極端嘅機率。
公式
Z = (x − μ) ÷ σ；百分位 = Φ(Z) × 100%
- · x 為觀測值、μ 為母體（或樣本）平均、σ 為母體標準差。
- · Φ 係標準常態分布嘅累積分布函數（CDF），由 erf 函數計出，本工具採用 Abramowitz & Stegun 公式 7.1.26（誤差約 1.5×10⁻⁷）。
- · 雙尾 p 值 = 2·(1 − Φ(|Z|))，用嚟做假設檢定，例如 |Z| ≥ 1.96 對應 p ≈ 0.05。
- · 只有當原始分布近似常態時，百分位先準；偏態分布應改用非參數方法。
- · 如手上只有樣本標準差 s（n 較細），請改用 t 分布；本工具假設 σ 已知或樣本夠大。
常見問題
Z 分數同百分位有咩分別？
Z 分數係尺度（連續嘅、可正可負），告訴你「離平均幾多個 σ」。百分位係比例（0%–100%），代表「百份之幾嘅人比你低」。兩者一一對應：Z = 0 ↔ 50%、Z = 1 ↔ 約 84%、Z = 1.96 ↔ 97.5%。本工具會同時顯示兩個。
單尾同雙尾 p 值點揀？
雙尾 p 適用於「看異常方向都算」嘅情況（例如品管：太重太輕都係問題）；單尾 p 適用於事先已認定異常方向（例如「呢隻藥只可能令數值升、唔可能跌」）。實務上學術研究絕大多數用雙尾，比較保守。
為何 IQ 130 嘅百分位係 97.7% 而唔係 95%？
IQ 標準化平均 100、標準差 15。130 對應 Z = (130 − 100) / 15 = 2，而 Z = 2 嘅 Φ(Z) ≈ 0.9772，即百分位 ~97.7%。常聽到嘅「Mensa 入會線 = 頭 2%」對應 Z ≈ 2.05、IQ ≈ 131；坊間有時用 95% 係 Z = 1.645 嘅雙尾粗略講法，唔係 130 嘅實際百分位。
可以用負嘅平均或標準差嗎？
平均可以係任意實數（包括負數），呢個工具支援。但標準差必須嚴格大於 0：σ = 0 代表所有觀測值都一樣，根本冇變異可言；σ < 0 唔合理。如果輸入 0 或負數，工具會提示錯誤。
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