誤差幅度計算機（民調 / 抽樣 Margin of Error）
誤差幅度（Margin of Error，MOE）係信心區間嘅一半寬度 — 民調報導「候選人 A 領先 52 % 對 48 %、±3 個百分點、95 % 信心水平」嘅 ±3 就係 MOE。工具支援比例（民調 / 投票）同平均值（連續變量）兩種模式，亦提供有限母體校正（FPC）。
Enter a positive integer sample size, a valid proportion (0–100 %) or standard deviation, and a sensible population (≥ sample size).
Margin of error
Margin of error MOE
—
—
z critical value
—
Standard error SE
—
FPC factor
1.000
Uses the standard Wald / normal-approximation interval (accurate when n·p ≥ 10 and n·(1−p) ≥ 10). For proportions very close to 0 or 1, use the Wilson or Agresti–Coull interval instead.
Formula
比例：MOE = z·√(p(1−p)/n) · FPC；平均值：MOE = z·(σ/√n) · FPC；FPC = √((N−n)/(N−1))（母體無限大時 FPC = 1）
- · 常用 z 值（兩側）：80 % → 1.282；90 % → 1.645；95 % → 1.960；98 % → 2.326；99 % → 2.576。
- · 比例最壞情況用 p = 50 % — 因為 p(1−p) 喺 p = 0.5 達最大值 0.25，所以 MOE 喺中間最闊。新聞嘅「±3 個百分點」報導通常用 p = 0.5 算出最保守數值。
- · MOE 隨 √n 縮細：要 MOE 減半，必須樣本量增加 4 倍。1 % 嘅 MOE 通常需要 n ≈ 10 000；3 % 約需 1 000；5 % 約需 400。
- · 有限母體校正（FPC）：當 n/N > 5 % 時 FPC 顯著 < 1，會縮窄 MOE。例如 n = 100、N = 1 000，FPC ≈ 0.95；n = 500、N = 1 000，FPC ≈ 0.71。
- · 預設使用 Wald／正態近似（即上述公式）；當 n·p ≥ 10 同 n·(1−p) ≥ 10 時準確。極端情況（如某選項只得 2 % 支持）應改用 Wilson 或 Agresti–Coull 區間。
- · MOE 只反映「抽樣誤差」 — 唔包括選樣偏差（sampling bias）、無回應偏差、措辭偏差。實務上民調嘅總誤差通常比公佈嘅 MOE 大成倍。
Frequently asked
同一民調，唔同候選人嘅 MOE 點解經常一樣？係咪錯？
冇錯，係刻意保守。媒體報導用嘅 MOE 一律以 p = 0.5 為基準（即「最壞情況 MOE」），因為 p(1−p) 喺 0.5 達最大值 0.25。對 95 % 信心水平、n = 1 000，呢個保守 MOE ≈ 1.96 × √(0.25/1000) ≈ 3.1 % — 即係「±3 個百分點」嘅由來。實際每個候選人嘅 MOE 應該按其支持度單獨計：候選人 A 得 60 %、p(1−p) = 0.24、MOE ≈ 3.0 %；候選人 B 得 5 %、p(1−p) = 0.0475、MOE ≈ 1.3 %。所以邊緣候選人嘅實際 MOE 細啲，主流媒體只係統一用最大值方便閱讀。但要嚴格比較兩位候選人嘅差距時，要用兩個比例差嘅 MOE：z·√(2·p(1−p)/n)（√2 倍），所以「差 4 % 算唔算明顯領先」要按呢個嚴格計。
MOE 細到 ±1 % 就代表結果準嗎？
唔一定。MOE 只係 *抽樣誤差*（sampling error）— 假設每個樣本都係從目標母體隨機抽出嗰個機率上限。但實際民調有大堆 *非抽樣誤差*：(1) 框架偏差（frame bias）— 用座機電話會漏咗只有手機嘅人；(2) 無回應偏差（non-response bias）— 願意答嘅人同唔願意答嘅人觀點可能系統性不同；(3) 措辭偏差（wording bias）— 「你是否支持 X」同「你是否反對 X」答案分佈會唔同；(4) 取樣權重錯誤（weighting error）— post-stratification 用嘅人口參數可能過時。Mark Pew Research、Nate Silver 等持續研究指出，總誤差通常係公佈 MOE 嘅 2–3 倍。所以「±1 % MOE」實際應理解為「真值大約喺 ±2–3 % 內，並且 95 % 信心」 — 將 MOE 當作下界、唔好當上界。
幾時應該用「有限母體校正」（FPC）？
一般教科書建議當 n/N > 5 % 就要用，因為 FPC 開始顯著縮窄 MOE。最常見適用情境：(1) 公司內部問卷 — 問 200 人公司中嘅 100 人，FPC ≈ √(100/199) ≈ 0.71，MOE 縮 29 %。(2) 學校 / 班級調查 — 抽取 500 人學校中嘅 300 人。(3) 罕見病 / 小眾族群研究 — 母體本身就有限。不需要用 FPC 嘅情境：全國民調（N ≈ 數百萬，n 通常 < 1 % N，FPC ≈ 1）。注意：當 n → N，FPC → 0，即完全普查時 MOE = 0（因為冇抽樣，等於將所有人問哂）— 呢點數學上係正確嘅。
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