貝氏定理機率計算機（Bayes’ Theorem）
輸入先驗機率 P(A)（事件 A 嘅基礎率）、靈敏度 P(B|A)（A 為真時測試陽性嘅機率）同假陽性率 P(B|¬A)（A 唔為真時測試仍陽性嘅機率），即時計出陽性後驗 P(A|B+)、陰性後驗 P(A|B−)、特異度同陽性／陰性概似比。常用於醫療檢測解讀、垃圾郵件分類、AI 模型評估，亦係理解「基礎率謬誤」嘅最直觀工具。
All three probabilities must be between 0% and 100%.
Posterior given positive test P(A|B+)
7.76%
Probability A is true after seeing a positive result.
Posterior given negative test P(A|B−)
0.22%
Probability A is still true after seeing a negative result.
Belief update
Prior 1.00% → posterior 7.76% after positive
Specificity (1 − FPR)
90.40%
Positive likelihood ratio LR+
8.33
LR+ = sensitivity / FPR; > 10 = strong evidence for A.
Negative likelihood ratio LR−
0.221
LR− = (1 − sensitivity) / specificity; < 0.1 = strong evidence against A.
Inputs are percentages (0–100). When the base rate is low (say 1%) even a 95%-accurate test produces more false positives than true ones — try dialling P(A) and FPR down to feel the base-rate fallacy.
Formula
P(A|B+) = P(B|A) · P(A) / [P(B|A) · P(A) + P(B|¬A) · (1 − P(A))] P(A|B−) = (1 − P(B|A)) · P(A) / [(1 − P(B|A)) · P(A) + (1 − P(B|¬A)) · (1 − P(A))]
- · 基礎率謬誤：當 P(A) 好低時，即使靈敏度高（例如 95 %），測試陽性嘅大多數其實仍係假陽性 — 試輸入 P(A) = 1 %、靈敏度 = 80 %、假陽性率 = 9.6 %，後驗只有約 7.8 %（Kahneman & Tversky 1982 經典例子）。
- · 靈敏度 = 真陽性率 = P(陽性|有病)；假陽性率 = P(陽性|冇病)；特異度 = 1 − 假陽性率。靈敏度與特異度係測試本身嘅屬性，唔受人口盛行率影響。
- · 陽性概似比 LR+ = 靈敏度 / 假陽性率。臨床上 LR+ > 10 通常代表「強烈支持診斷」，2 – 5 代表「中等支持」，1 代表「無資訊」。
- · 陰性概似比 LR− = (1 − 靈敏度) / 特異度。LR− < 0.1 通常代表「強烈排除診斷」。
- · 若你已知測試嘅特異度（specificity），可用「假陽性率 = 100 % − 特異度」反推輸入。例如特異度 = 90.4 % → FPR = 9.6 %。
- · 參考：Pagano & Gauvreau, Principles of Biostatistics (2nd ed., §6.6)；Kahneman D., Tversky A., Judgment under Uncertainty (1982)。
Frequently asked
貝氏定理同條件機率有咩分別？
條件機率 P(A|B) 係「喺 B 已經發生嘅前提下，A 發生嘅機率」嘅定義；貝氏定理就係用嚟「翻轉」條件機率嘅工具：當你手上有 P(B|A)（例如測試嘅靈敏度）但想計 P(A|B)（測試陽性後真係有病嘅機率），就用 P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B)。換句話講，條件機率係概念，貝氏定理係由 P(B|A) 算到 P(A|B) 嘅實際公式 — 同時需要你提供基礎率 P(A)。
點解一個 95 % 準確嘅檢測，陽性結果都唔代表 95 % 有病？
因為「準確度」唔考慮基礎率。假設病嘅盛行率係 1 %（100 個人 1 個病），靈敏度 95 %、特異度 95 %：100 人入面有 1 個真病、99 個冇病。1 個真病嘅 95 % 機率測陽 → 約 0.95 個真陽；99 個冇病嘅 5 % 假陽 → 約 4.95 個假陽。所以陽性者裏面真係有病嘅只係 0.95 / (0.95 + 4.95) ≈ 16 %，唔係 95 %。基礎率越低，假陽性問題越嚴重 — 呢個就係「基礎率謬誤」（base-rate fallacy）。要提高陽性後驗，唔係單靠提高靈敏度，而係要提高特異度（降低假陽性率），或者只測高危人群（提高 P(A)）。
輸入 0 % 或 100 % 會發生咩事？
邊界值在數學上都合理：P(A) = 0 表示事件冇可能發生，無論測試結果如何，後驗仍係 0；P(A) = 100 % 表示事件必然發生，後驗永遠係 100 %。靈敏度 = 100 %、假陽性率 = 0 % 等同於「完美測試」 — 陽性結果一定有病；但陽性概似比 LR+ = 1/0 在此情況下會顯示為 ∞（無限資訊量）。本工具會自動將呢類退化情況顯示為 ∞ 而唔係出錯。
可以連續用呢個工具更新多次測試嘅結果嗎？
可以 — 貝氏定理嘅優點就係可以一次次更新。做法：將今次測試嘅後驗當成下次測試嘅先驗，再輸入返靈敏度同假陽性率。例如先驗 1 % → 第一次陽性 → 後驗 7.8 %；將 7.8 % 當做下次嘅先驗，再做一次同樣嘅測試，第二次又陽性 → 後驗 ≈ 41.4 %；第三次再陽性 → 後驗 ≈ 85.4 %。前提係兩次測試結果獨立（例如用唔同原理嘅檢測），如果只係用同一支試劑重做，兩次結果可能高度相關，唔可以咁簡單相乘 — 真實世界醫療指引通常會要求「複檢」用唔同原理嘅 confirmatory test，原因正係要保持獨立性。
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輸入一組數值，計算變異係數 CV = σ / μ × 100%（標準差除以均值），用嚟比較唔同單位或量級嘅資料離散程度，常見於實驗重複性同投資組合風險評估。
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輸入一組數值，工具排序後計算中位數、第一/第三四分位數、四分位距 IQR 同 1.5×IQR 離群值界限（Tukey 法），係統計箱形圖嘅核心摘要。
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輸入一組正數，計算調和平均 HM = n / Σ(1/xᵢ) 同對應嘅算術／幾何平均，常用於平均速度、平均比率、平均 P/E 等「分母性質」嘅數據。
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