費氏數列計算機（第 n 項）
費氏數列（Fibonacci sequence）係由 0、1 開始，之後每一項都係前兩項相加：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…。輸入任何 0 至 1500 嘅項次 n，本工具用 BigInt 精準算到 F(n)、F(n−1)、相鄰比例 F(n)÷F(n−1)（會收斂到黃金比例 φ ≈ 1.618），同前 30 項序列。
請輸入 0 至 1500 之間嘅整數。
第 n 項 F(n)
6,765
前一項 F(n−1)
4,181
相鄰比例 F(n) ÷ F(n−1)
1.61803399
黃金比例 φ ≈ 1.61803399
前 21 項序列
由 F(0) 開始，最多顯示頭 30 項。
F(0)=0、F(1)=1，之後每一項都係前兩項相加。相鄰比例會由細到大逐步收斂到黃金比例 φ ≈ 1.6180。本工具用 BigInt 運算，唔受 JavaScript 53 位浮點精度限制。
公式
F(0) = 0, F(1) = 1, F(n) = F(n−1) + F(n−2) 相鄰比例：F(n) ÷ F(n−1) → φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1.6180339887…
- · 參考數列：F(10) = 55、F(20) = 6 765、F(30) = 832 040、F(50) = 12 586 269 025、F(100) = 354 224 848 179 261 915 075。對照來源：OEIS 編號 A000045。
- · 數列由 19 世紀意大利數學家 Leonardo Fibonacci 喺《Liber Abaci》（1202）裡介紹歐洲；近代研究見 OEIS A000045、Vajda《Fibonacci & Lucas Numbers》（1989）。
- · 相鄰比例 F(n+1)÷F(n) 會由 1 開始振盪，逐項收斂到黃金比例 φ = (1+√5)/2 ≈ 1.6180339887。n ≈ 20 已經精確到小數第 7 位。
- · F(n) 隨 n 指數式增長：每多一項，數值大約乘 φ；位數每 5 項大概多 1 位（lg φ ≈ 0.20898）。F(1000) 有 209 位數字。
- · 本工具用 JavaScript BigInt 做加法，每一步都精準，唔受 53 位浮點限制；上限訂喺 n = 1500（足夠絕大多數教學／練習用途）。
- · 常見變體：Lucas 數列（L₀=2, L₁=1）、Tribonacci（每項係前三項相加）— 本工具只計標準 Fibonacci。要計 Lucas 嘅話，L(n) = F(n−1) + F(n+1)。
常見問題
F(100) 等於幾多？JavaScript 計到嗎？
F(100) = 354,224,848,179,261,915,075 — 21 位數字。普通 JavaScript Number 只有 53 位精度（Number.MAX_SAFE_INTEGER ≈ 9 × 10¹⁵，即 16 位），由 F(78) 開始就會失準。本工具改用 BigInt 做整數運算，每一步加法都係 100% 精確，所以 F(1500) 都可以瞬間出答案。
點解相鄰比例會收斂到黃金比例 φ？
令 r = lim F(n+1)÷F(n)。將遞推式兩邊除以 F(n)：F(n+1)/F(n) = 1 + F(n−1)/F(n)，即 r = 1 + 1/r，整理就係二次方程 r² − r − 1 = 0，正根 r = (1 + √5) / 2 = φ ≈ 1.61803。Binet 公式 F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5（ψ = 1 − φ ≈ −0.618）亦可以直接睇到呢個極限。
可唔可以用 Binet 公式直接計，唔使遞推？
理論上可以：F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5。但 √5 同 φ 都係無理數，用浮點數計就會引入捨入誤差，由 n ≈ 70 開始就唔精確。要對所有 n 都得到精確嘅整數結果，依然要用 BigInt 嘅遞推或者矩陣冪 — 本工具用嘅就係 O(n) 嘅遞推法，n=1500 都只需要毫秒級時間。
0 算唔算 Fibonacci 數？係咪由 F(1) = 1 開始？
視乎慣例。現代數學文獻（包括 OEIS A000045）一律用 F(0) = 0、F(1) = 1，所以 0 屬於 Fibonacci 數列。少數舊教科書由 F(1) = 1、F(2) = 1 起步（即跳過 0）— 兩者除咗第一個 index 之外完全一致。本工具用嘅係 OEIS 慣例。
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