生日悖論計算機
生日悖論講嘅係：得 23 個人，就已經有超過 50% 機會至少有兩個人同一日生日 — 直覺以為要過百人，其實唔使。本工具會用精確公式計出機率，並列出達到 50%、90%、99% 所需嘅最少人數。
人數需要為 1–3660 之間嘅整數；日數需要為 2 或以上嘅整數。
至少 2 人同生日嘅機率
50.73%
p ≈ 0.50730
近似公式: 50.00%
機率分佈
達到指定機率所需人數
公式
P(至少 2 人同生日) = 1 − ∏ᵢ₌₀ⁿ⁻¹ (1 − i/D)，D = 一年日數
- · 假設每日出生機率均等（實際分佈略不均，但只影響第三位小數）
- · n = 23 → p ≈ 50.73%；n = 41 → 90%；n = 57 → 99%；n = 70 → 99.92%
- · 當 n ≥ D + 1 時，由鴿巢原理機率必為 1
- · 近似公式 1 − exp(−n(n−1)/(2D)) 用於快速估算（誤差約 1%）
- · 可將「日數」改成其他類別數量（例如 12 個星座、52 張啤牌）做其他配對問題
- · 資料來源：Wikipedia — Birthday problem
常見問題
23 人就 50%？係咪計錯數？
直覺通常將「23 人入面有 1 個人同我同生日」誤當「23 人入面有任何兩個人同生日」。前者只係 23/365 ≈ 6.3%；後者要計嘅係 C(23, 2) = 253 對可能配對，每對都有 1/365 機率撞 — 用獨立性近似可得 1 − (364/365)²⁵³ ≈ 0.4995。本工具用「無人撞」嘅精確機率 ∏(1 − i/365) 計，結果 50.73%，唔係直覺，但係冇錯。
幾多人先一定（100%）至少 2 人同生日？
由鴿巢原理：一年有 365（或 366）日，當人數達到 366（或 367）時，至少有 2 人同一日係必然。但喺工具入面試 100 人已經 p ≈ 99.99997% — 實際上同 100% 冇咩分別。
可唔可以用呢個工具計唔同個案？
可以。將「一年日數」改成想要嘅類別數：例如 12 個星座 → 4 個朋友已經有 ~43.75% 撞星座；52 張啤牌 → 抽 9 張有 ~50% 機會重複。同樣公式亦適用於 hash 碰撞 — 雙倍開方法則話：要去到 √(D × ln 2) 左右先撞，所以 365 → ~22.5（同精確 23 一致）。
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