楊氏模量計算機（應力 / 應變）
楊氏模量（E，又稱彈性模量）係材料喺彈性範圍內抵抗拉伸／壓縮變形嘅剛度指標。工具用工程應力 σ = F/A 同工程應變 ε = ΔL/L₀，按 Hooke 定律 E = σ/ε 計出模量，並比對常用材料參考值。
Common materials (tap to load example geometry)
Enter a valid force (N), area (m², > 0), original length (m, > 0) and ΔL (≠ 0).
Results
Young's modulus E = σ / ε
—
—
Stress σ = F / A
—
Strain ε = ΔL / L₀
—
Reference: Young's modulus of common materials
Room-temperature typical values (Callister, "Materials Science and Engineering" 10th ed., App. B). Actual values vary with composition and processing.
| Material | E (GPa) |
|---|---|
| Diamond | 1050 |
| Tungsten | 411 |
| Carbon steel (structural) | 200 |
| Copper | 117 |
| Brass | 100 |
| Soda-lime glass | 70 |
| Aluminium alloy | 69 |
| Concrete | 30 |
| Bone (cortical) | 14 |
| Pine (parallel to grain) | 10 |
| Nylon 6/6 | 3 |
| Natural rubber (soft) | 0.04 |
Assumes small-strain linear elasticity (Hooke's law); valid only below the material's yield stress σ_y.
Formula
σ = F / A；ε = ΔL / L₀；E = σ / ε = F·L₀ /（A·ΔL）
- · 單位：F 牛頓（N）、A 平方米（m²）、L₀ 同 ΔL 米（m），結果 E 帕（Pa），工程上常用 GPa = 10⁹ Pa。
- · 只適用於彈性區（應力 < 屈服應力 σ_y）；超過屈服點材料會發生塑性形變，E 失去意義。
- · 工程應力 / 應變（engineering）以原幾何為基準；超過 ε ≈ 5 % 時需改用真應力 / 真應變（true）。
- · 參考值（GPa）：鑽石 ~1050、鎢 ~411、碳鋼 ~200、銅 ~117、玻璃 ~70、鋁合金 ~69、混凝土 ~30、骨皮質 ~14、松木（順紋）~10、尼龍 ~3、天然橡膠 ~0.04（Callister《材料科學與工程》第 10 版 App. B）。
- · 楊氏模量同剪切模量 G、體積模量 K、Poisson 比 ν 有恆等式：G = E /（2(1+ν)）、K = E /（3(1−2ν)）。
- · 溫度上升會降低多數金屬嘅 E（線性下降，每 100 °C 約跌 3–5 %）；纖維強化複合材料具高方向性，E 沿纖維方向遠高於橫向。
Frequently asked
點解輕鋼鐵嘅 E 同高碳鋼差不多？
因為楊氏模量主要由原子鍵嘅勁度（interatomic bonding stiffness）決定，唔受碳含量、熱處理或晶粒大小顯著影響。所有以 Fe-Fe 金屬鍵為主嘅鋼材（含碳 0.02 %–2.1 %），E 都係 200 GPa ± 10 %。但屈服應力（yield strength）、極限抗拉強度（UTS）、硬度同延展性會隨碳含量同熱處理大幅變化 — 例如退火低碳鋼 σ_y ≈ 250 MPa，淬火高碳鋼可達 1500 MPa。即係：要設計「唔變形」（剛度問題）睇 E；要設計「唔斷裂」（強度問題）睇 σ_y。
橡膠嘅 E 比鋼小幾萬倍，點解我哋仲可以用佢做車軚？
因為設計目標不同。車軚需要嘅係「大彈性形變但唔失效」（吸震、增加摩擦接觸面積），所以低 E + 高斷裂應變正合適 — 橡膠可彈性形變到 500–700 % 而唔斷，鋼最多 0.2 % 就屈服。再者，車軚靠內部 70–250 kPa 嘅氣壓 + 鋼絲簾布（steel belts，E ≈ 200 GPa）做承載，橡膠主要做密封同接觸介面。即係話「材料嘅 E 唔係愈高愈好」，要睇用途；過硬反而 NVH（噪音 / 震動 / 不順）差。
工程應力／應變同真應力／真應變有咩分別？
工程應力 σ_eng = F / A₀（原始截面積）、工程應變 ε_eng = ΔL / L₀（原始長度），方便直接量度，係本工具同大多數材料試驗報告嘅標準。真應力 σ_true = F / A_inst（即時截面積）、真應變 ε_true = ln(L_inst / L₀)（積分形式，又稱對數應變或自然應變），考慮到拉伸過程中截面收細（Poisson 效應同 necking）。喺彈性區（ε < 1 %）兩者幾乎相同，可以混用；超過屈服進入塑性大變形（ε > 5 %），兩者分歧明顯，需要用真應力／真應變做有限元分析（FEA）。
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輸入質量同摩爾質量（g/mol）或反過來輸入摩爾數，工具用 n = m / M 換算，並同步顯示亞佛加厥粒子數 N = n · Nₐ，方便化學科稱量同題目轉換。
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輸入溶液中各組分嘅莫耳數（或質量同莫耳質量），計算每個組分嘅莫耳分數 xᵢ = nᵢ / Σ nⱼ，並核對總和 = 1 用於拉烏爾定律、氣體混合同熱力學分析。
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