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科學

Stefan–Boltzmann 黑體輻射計算機

黑體（同所有合理嘅實際物體）一旦有溫度，就會以電磁輻射形式發射能量。Stefan–Boltzmann 定律 M = ε σ T⁴ 講晒呢個輻射有幾強：M 係單位面積輻射出嘅功率（出射度，W/m²）、σ = 5.670 374 419 × 10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴ 係 Stefan–Boltzmann 常數（CODATA 2018）、T 係物體絕對溫度（K）、ε 係發射率（0–1，黑體 = 1，磨光金屬 ~0.05，皮膚 / 油漆 ~0.9）。輸入溫度（可用 K / °C / °F）、表面積（m² / cm² / ft² / in²）同 ε，工具會同時顯示：(1) 出射度 M；(2) 總輻射功率 P = M·A；(3) Wien 定律嘅峰值波長 λ_max = b/T 同所屬電磁譜段。內建 6 個常見預設由人體、白熾燈到太陽、紅巨星，便於對比 T⁴ 嘅放大效應。

Common scenarios (click to apply)

Radiant output

Radiant exitance M

—

Power per unit area, ε σ T⁴.

Total radiant power P

—

M times surface area.

Peak wavelength λ_max

—

— · Wien's displacement λ_max = b / T.

σ = 5.670 374 419 × 10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴; Wien b = 2.897 771 955 × 10⁻³ m·K (CODATA 2018).

Formula

M = ε · σ · T⁴ （輻射出射度，W/m²） P = M · A = ε σ A T⁴ （總輻射功率，W） λ_max = b / T （Wien 位移） σ = 5.670 374 419 × 10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴ b = 2.897 771 955 × 10⁻³ m·K

Frequently asked

點解輻射功率係 T⁴ 而唔係 T 或者 T²？

T⁴ 唔係實驗硬塞嘅指數 — 而係由量子統計同熱力學自然推出嚟。Planck 黑體輻射譜講畫家：黑體輻射喺頻率 ν 嘅譜密度與「光子能量 hν」×「Bose–Einstein 分佈」成正比；對 ν 積分（用 ∫₀^∞ x³/(eˣ−1) dx = π⁴/15），所有頻率嘅總功率就剛剛等於 σT⁴。直覺上：(1) 隨溫度升，每個光子嘅平均能量正比 T；(2) 每單位體積嘅光子總數正比 T³（同熱輻射玻色子個數）；(3) 二者相乘，得到能量密度 ∝ T⁴。所以 σT⁴ 既係 Planck 量子理論嘅必然推論，亦同 1879 Stefan 嘅實驗結果完全脗合 — 量子假設與經典熱輻射嘅一個古典橋樑。

計人體散熱要點計？人坐喺 22 °C 房間散幾多 W？

人體輻射散熱要用「淨輻射」公式，因為環境同樣會「輻射番過嚟」：P_淨 = ε σ A (T_skin⁴ − T_env⁴)。設皮膚溫度 T_skin = 305 K（32 °C，包衣物嗰類），房間 T_env = 295 K（22 °C），ε ≈ 0.97（皮膚 + 衫），A ≈ 1.8 m² 體表面積：P ≈ 0.97 × 5.67e-8 × 1.8 × (305⁴ − 295⁴) ≈ 110 W。呢個正係日常人嘅淨輻射散熱量級，與成人 BMR ~80–100 W 數量級相符（其餘由蒸發、呼氣、傳導補上）。本工具可以分別計兩端 T 嘅出射度再相減，模擬呢個案例 — 試吓「人體 305 K」preset 同房間 ~293 K 嘅落差。

黑體（ε = 1）係物理上點解可以存在？日常物件可以幾接近？

黑體係「完美吸收所有入射輻射、再以熱平衡放射」嘅理想 — Kirchhoff 定律話明：對任何波長，吸收率 α(λ) = 發射率 ε(λ)。實驗上幾接近？(1) 經典實驗用一個有小開口嘅恆溫腔（cavity radiator），由內反射多次足以將任何頻率嘅光「困死」 → 開口嘅輻射係黑體；NIST 標準黑體爐就係呢類設計，ε > 0.999。(2) 工程：黑色油漆 ε ~0.95、爐黑（碳黑）~0.96、特殊陶瓷塗層 ~0.98。(3) 天體：恆星埋接近熱平衡，全光譜 ε ≈ 1（除咗一啲吸收線）；CMB（宇宙微波背景）係已知最完美嘅黑體，T = 2.725 K、ε > 0.99995（COBE/FIRAS 測量）。日常物件大部分都係「灰體」— ε 隨波長變化，但合理近似可用一個常數。

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