拋體運動計算機
輸入初速度 v₀、發射角度 θ(0° 至 90°)同發射點高度 h₀,即時得出拋射物嘅水平射程 R、最大高度 H、總飛行時間 T,仲有落地速度同達峰時間。內建七個行星/衛星嘅重力選項(地球、月球、火星、金星、木星、水星、土星),方便做物理題對照唔同重力場下嘅彈道差異。所有運算用 SI 單位處理;速度可揀 m/s、km/h、mph、ft/s;長度可揀米或呎。
請輸入有效嘅初速、角度(0°–90°)同高度(≥ 0);初速必須大過零;θ = 0° 同 h₀ = 0 嘅情況冇飛行。
射程 R
—
最大高度 H
—
飛行時間 T
—
—
—
公式(忽略空氣阻力)
R = vₓ · T · H = h₀ + vᵧ² ÷ 2g · T = (vᵧ + √(vᵧ² + 2gh₀)) ÷ g
計算採用拋體運動嘅理想模型,假設冇空氣阻力同一致重力。座標以發射點為原點,y 軸向上。
公式
以發射點做原點、y 軸向上: vₓ = v₀ · cos θ // 水平速度(恆定) vᵧ = v₀ · sin θ // 初垂直速度 T = (vᵧ + √(vᵧ² + 2 g h₀)) ÷ g // 飛行時間(y(T) = 0) R = vₓ · T // 水平射程 H = h₀ + vᵧ² ÷ (2 g) // 最高點高度 |v_落| = √(vₓ² + (vᵧ − g T)²) // 落地時速率 當 h₀ = 0 時:R = v₀² · sin 2θ ÷ g,T = 2 v₀ sin θ ÷ g,最大射程角度為 45°。 當 h₀ > 0 時,最大射程角度細過 45°,可由 tan θ* = v₀ / √(v₀² + 2 g h₀) 求出。
- · 本工具用嘅係「理想拋體模型」:質點、無空氣阻力、重力均勻向下。實際投擲、籃球、子彈軌跡會因空氣阻力同馬格努斯效應有偏差,特別係速度大、體積細或者旋轉時。
- · 當發射高度 h₀ = 0 且角度 = 0° 時,拋射物即時落地,工具會回傳「冇飛行」嘅錯誤;要橫擲一定要由高度大於零嘅地方出發。
- · 能量守恆檢驗:½v₀² + g h₀ = ½v_落²,所以由空中發射時落地速率必然大過初速度 v₀;h₀ = 0 嘅對稱拋體中,落地速率等於 v₀。
- · 七個行星/衛星嘅重力數值由 NASA Planetary Fact Sheet(D. R. Williams, NASA GSFC, 2023):地球 9.81、月球 1.62、火星 3.72、金星 8.87、木星 24.79、水星 3.70、土星 10.44 m/s²。
- · URL 會自動更新(v、vu、a、h、hu、g),可以將任意一個彈道情景儲低或分享出去。
- · 參考書目:Halliday, Resnick, Walker《Fundamentals of Physics》第 10 版第 4 章;NIST SP 811 單位換算表(mph、ft 等)。
常見問題
點解 45° 喺地面拋出時射程最遠?由屋頂拋落地又仲係 45° 嗎?
由地面拋出(h₀ = 0),射程 R = v₀² sin 2θ ÷ g,sin 2θ 喺 θ = 45° 時等於 1,所以 45° 射得最遠。但係由屋頂或斷崖(h₀ > 0)拋出時,最佳角度會細過 45°,因為向下嘅落差等於「免費」多咗一段飛行時間,水平分量越大越著數。可以由 tan θ* = v₀ / √(v₀² + 2 g h₀) 計出實際最佳角度,例如由 10 米高拋 20 m/s 嘅球喺地球,最佳角度約 41.6° 而唔係 45°。
冇計空氣阻力,呢個結果可以信幾多?
中低速、緊密堅實嘅物體(例如鉛球、彈珠、籃球距離 < 20 m)誤差好細,課本同 DSE 都用呢個模型。但係輕同快嘅物體(羽毛球、乒乓波、棒球)阻力影響好大:例如棒球 40 m/s 飛 100 米時實際射程比公式短 30–40%。本工具最適合做物理題、初步估算、考試準備,唔係彈道槍械或者體育精確分析。
同一速度同角度,喺月球可以拋幾遠?
月球重力 g ≈ 1.62 m/s²,係地球 9.81 m/s² 嘅約 1/6。由地面以同一速度同角度拋出時,射程 R ∝ 1 / g,所以月球射程大約係地球嘅 9.81 ÷ 1.62 ≈ 6.06 倍;最高高度同飛行時間都會放大相應倍數。揀「月球」做行星即可即時對比 — Apollo 14 嘅 Alan Shepard 喺月球揮高爾夫嘅劇本就係咁估算出嚟。
可唔可以用嚟做 HKDSE 物理嘅拋體題?
可以。HKDSE 物理(Compulsory Part:Mechanics — Projectile motion)正正係呢個無阻力模型,工具會即時俾出 R、H、T 同落地速率。考試時記得自己畫 free-body 圖、寫低分量公式(vₓ、vᵧ)、再代入數值,呢個工具用嚟核對最終答案最有效。可以揀「地球 (9.81 m/s²)」,需要時切換到月球試題情景。
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