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科學

布拉格定律計算機（X 射線繞射 nλ = 2d sinθ）

布拉格定律 nλ = 2d sinθ 係 X 光晶體學嘅基石 — 喺 1913 年由 W. H. Bragg 父子提出，描述 X 射線喺平行晶面反射時嘅相長干涉條件。輸入四個變數（晶面間距 d、繞射角 θ、波長 λ、階數 n）入面嘅任意三個，工具會反解第四個並列出代入過程，方便對齊化學 / 物理 DSE、A-level、本科生實驗報告以及粉末繞射數據分析。

Result

—

Working

nλ = 2 d sinθ

Bragg's law gives the condition for constructive interference of X-rays reflected from parallel crystal planes — proposed by the Bragg father-and-son team in 1913, and the foundation of X-ray crystallography.

Reference: W.H. Bragg & W.L. Bragg, Proc. R. Soc. A 88, 428 (1913); Cullity & Stock, Elements of X-Ray Diffraction, 3rd ed.

Formula

n · λ = 2 · d · sinθ 反解： θ = asin(n·λ / (2d)) d = n·λ / (2·sinθ) λ = 2·d·sinθ / n n = round(2·d·sinθ / λ)

Frequently asked

為何 XRD 圖譜橫軸係 2θ 而唔係 θ？

因為實驗儀器（如 Bragg–Brentano 幾何）測量嘅實際係探測器轉動嘅角度。當入射光固定，樣本旋轉 θ，探測器就要旋轉 2θ 先可以收到對應嘅繞射光，所以儀器原生報嘅就係 2θ。代入布拉格公式時記得除 2 — 例如 2θ = 31.7° 對應嘅 Bragg 角係 θ = 15.85°，呢個先係 nλ = 2d sinθ 公式入面嘅 θ。喺粉末繞射數據庫（如 ICDD PDF）查 d 值嘅時候，要留意系統用嘅係邊一個。

布拉格定律係咪只適用於 X 射線？

唔係。任何波長同晶面間距相當（λ ≈ d，即 ~0.01–10 Å）嘅波動，都會喺晶體入面產生布拉格繞射。常見三類：(1) X 射線（1–2 Å）— 商用桌上型衍射儀；(2) 中子（~1–2 Å）— 對輕元素（H, Li）特別敏感；(3) 電子（~0.025 Å @200 kV）— TEM / SAED。三者用同一條公式 nλ = 2d sinθ，差別只係波同物質嘅相互作用機制：X 射線主要與電子散射，中子主要與原子核散射，電子則同時受電子與電位場影響。1929 年 Davisson-Germer 嘅電子繞射實驗，正係用布拉格定律驗證電子嘅波動性，幫 de Broglie 拎到 1929 年諾貝爾物理學獎。

解出 sin θ > 1 點算？

sin θ > 1 嘅情況下根本冇實數解 — 即係話對於指定嘅 d、λ、n，唔存在符合布拉格條件嘅角度。多數情況係：(1) 階數 n 太高 — 可達最高階數 n_max = floor(2d / λ)，超過呢個 n 自然冇解；(2) 波長太長 — 例如想用 λ ~ 5 Å 嘅長波長探測 d = 2 Å 嘅平面，nλ ≥ 5 > 2d，永遠唔可能成立；(3) 樣本嘅 d 值估錯 — 寫晶體學數據時要核對嗰個 hkl 平面真實嘅 d。實驗上嘅應對：(a) 改用更短嘅 X 光波長（如 Mo Kα 而非 Cu Kα）；(b) 揀更大 d 嘅平面；(c) 確認儀器嘅 2θ → θ 換算冇出錯。

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