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科學

勞侖茲因子計算機（時間膨脹 γ）

輸入物體速度 v（可用 β = v/c、% c、或 m/s、km/s、km/h、mph 等具體單位），工具計算特殊相對論最核心嘅單一參數 — 勞侖茲因子 γ = 1/√(1 − β²)。同時顯示：(1) 時間膨脹倍數（移動時鐘嘅 1 秒，對外人嚟講係 γ 秒）；(2) 長度收縮比例（移動嘅米尺喺運動方向上縮短至 1/γ）；(3) 如果你填埋靜質量 m，仲會計埋靜能 mc²、總能 γmc² 同相對論動能 (γ−1)mc²。低速（行路、汽車、飛機）γ 同 1 嘅差距細到忽略；接近光速時 γ 飆升 — 99% c 已經 γ ≈ 7，99.9% c 約 22.4，LHC 嘅質子達到 γ ≈ 7460。

Reference speeds (click to apply)

Relativistic effects

Lorentz factor γ

1.1547

β = v / c

0.5000

Time dilation

1.1547×

A moving clock runs slow by a factor of γ.

Length contraction

0.8660×

A ruler oriented along v shrinks to 1/γ of its rest length.

Energy (requires mass)

Rest energy mc²
—
Total energy γmc²
—
Relativistic kinetic energy (γ−1)mc²
—

c = 299 792 458 m/s (exact). 1 J = 6.241509 × 10¹² MeV.

Formula

β = v / c γ = 1 / √(1 − β²) 時間膨脹 Δt' = γ · Δt 長度收縮 L' = L / γ 靜能 E₀ = m · c² 總能 E = γ · m · c² 相對論動能 KE = (γ − 1) · m · c² c = 299 792 458 m/s（精確值）

Frequently asked

點解時間膨脹同長度收縮喺日常完全感覺唔到？

因為日常速度遠遠細過光速。商業航機巡航 ~250 m/s，β ≈ 8.3 × 10⁻⁷，γ − 1 ≈ 3.5 × 10⁻¹³ — 飛十幾個鐘地面同機上嘅時鐘只差幾 ns，要原子鐘先量得到。1971 Hafele–Keating 實驗用商業航機加銫原子鐘環繞地球，確實量到幾百 ns 嘅時間差，符合特殊 + 一般相對論預測。即係話，唔係效應冇出現 — 而係細到只有極精密儀器先察覺到。日常雷射測距、衛星通訊都係特相生效嘅運用場景。

γ 響甚麼速度開始「明顯」？

一啲速度同 γ 對照表幫你定位：β = 0.10 → γ ≈ 1.005（增 0.5%）；β = 0.30 → γ ≈ 1.048（增 4.8%）；β = 0.50 → γ ≈ 1.155（增 15.5%）；β = 0.80 → γ ≈ 1.667；β = 0.90 → γ ≈ 2.294；β = 0.99 → γ ≈ 7.09；β = 0.999 → γ ≈ 22.37。實務上 β ≳ 0.1（即 ~3 × 10⁷ m/s）就要明顯考慮相對論修正；高能物理同粒子加速器 routinely 運作於 γ > 1 000 嘅範圍，宇宙線粒子 γ 可達 10¹¹ 量級。可以用呢個工具試吓唔同 β 值，直觀感受 γ「先慢後爆」嘅曲線。

相對論動能同古典 ½ mv² 點解咁唔同？

古典 ½ mv² 假設質量恆定、速度可以隨能量無限制咁升。但實情：(1) 任何加多嘅能量都會加埋等效質量 — 物體越快，慣性越大，每 m/s 嘅加速需要越多能量；(2) 隨速度趨近 c，加速嘅「成本」發散，所以無論點加，都到唔到 c。Taylor 展開：(γ − 1)mc² = ½ mv² + (3/8)mv⁴/c² + …，前兩項就係古典 KE。低速時第一項佔絕大多數；β ≈ 0.1 時偏差仍細於 1%；β ≈ 0.5 時相對論 KE 已比古典 ½ mv² 大 ~24%；β ≈ 0.9 時大兩倍以上。所以加速器設計、宇宙射線、粒子物理全部要用相對論公式 — 古典近似會嚴重低估能量。

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