伯努利方程式計算機（流體速度／壓力）
輸入流體密度 ρ、兩點嘅壓力 P、速度 v 同高度 h，工具用 Bernoulli 方程 P + ½ρv² + ρgh = 常數 解未知變量（v₂ 或 P₂），同時顯示兩點嘅動壓 q = ½ρv²、駐壓（總壓）以及守恆總壓。覆蓋管道收縮 / Venturi 管、Pitot 管測風速、Torricelli 出水定律同機翼局部加速嘅基本原理。SI 單位（Pa、m/s、m、kg/m³）；g 預設 = 9.806 65 m/s²（CODATA 2018 SI 精確值）。
Common scenarios (click to load)
Enter a positive density (ρ > 0) and all state variables (pressure, velocity, height).
Results
Solved variable
—
Dynamic pressure q₁ = ½ρv₁²
—
Dynamic pressure q₂ = ½ρv₂²
—
Stagnation (total) pressure at 1
—
Stagnation (total) pressure at 2
—
Conserved total head P + q + ρgh: —
Assumptions: steady, incompressible, inviscid flow along a single streamline. Not valid for compressible flow (Mach > 0.3), pumps / turbines or significant friction losses. SI units: pressure Pa, velocity m/s, height m, density kg/m³.
Formula
P₁ + ½ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + ½ρv₂² + ρgh₂ v₂ = √( v₁² + 2(P₁ − P₂)/ρ + 2g(h₁ − h₂) ) P₂ = P₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) + ρg(h₁ − h₂)
- · 假設：穩態 (∂/∂t = 0)、不可壓縮 (ρ 為常數)、無黏 (沒有摩擦損失)、沿同一條流線。三項任何一項失效就要用 Navier–Stokes、能量方程或 compressible flow 處理。
- · Torricelli 嘅自由出流 v = √(2gh) 係 Bernoulli 喺 「P₁ = P₂ = P_atm、v₁ ≈ 0、h₁ − h₂ = h」嘅特例。本工具揀「Torricelli 5 m」預設可即場驗證 v ≈ 9.9 m/s。
- · Pitot 管原理：駐點處 v = 0、總壓 = P_static + ½ρv²；測到 ΔP 即可解 v = √(2 ΔP / ρ)。航空、氣象、HVAC 用嘅原理一致。
- · 高速氣流（馬赫 > 0.3）開始壓縮性顯著，要改用 compressible Bernoulli（含絕熱項）或 isentropic flow 關係式 — Mach 0.5+ 已不能用本式。
- · 常見密度（kg/m³，25 °C 1 atm）：純水 997、海水 1025、空氣 1.184、汽油 ~720–775、輕原油 ~870。表中數值可直接套入本工具嘅 ρ 輸入。
- · 參考：White 《Fluid Mechanics》第 8 版第 3.7 節；Munson 《Fundamentals of Fluid Mechanics》第 8 版第 3 章；NIST CODATA 2018（g₀ = 9.806 65 m/s² 精確定義）。
Frequently asked
機翼升力真係只係因為 Bernoulli 效應？
部分正確，但唔完整。Bernoulli 解釋咗「為什麼上表面流速較快就會出現較低嘅壓力差」（升力嘅直接成因），但唔解釋「為什麼上表面流速會較快」 — 後者要用環量（circulation）、Kutta 條件同邊界層脫離一齊講，等同一回事用 Navier–Stokes 解。實務工程同 NASA 教育素材都強調：升力公式 L = ½ρv²·S·C_L 既係 Newton 第二定律（向下偏轉空氣的反作用力）嘅結果，亦係 Bernoulli 嘅結果，兩者並非互斥。
為何水龍頭出水會「縮窄」？同 Bernoulli 有冇關係？
係，且係 Bernoulli + 連續性方程兩者結合嘅典型案例。出口時水速約 v₀，下落 h 米後重力加速到 v = √(v₀² + 2gh)。質量守恆 Q = A·v 為常數，所以 A = Q/v 必須變細，水柱因此變幼。本工具如果將「點 1」設喺水龍頭出口（v₁ = 1 m/s）、「點 2」設喺低 0.2 m，P₁ = P₂ = P_atm，就可以解出 v₂ ≈ 2.2 m/s — 出口截面積要縮細到 v₁/v₂ ≈ 45%。
計算解出嚟係虛數，點解？
當設定嘅 P₂ 太高（或 h₂ 太高），「點 1 → 點 2」需要新增能量先可以維持，而 Bernoulli 假設冇外力做功（冇泵 / 冇加熱）— 即流體唔可能自發加速到 v₂ > 0。數學上 v₂² = (...) 變負數，平方根無實數解。要解決：(1) 加返一個泵 / 風扇（即係 Bernoulli 加上能量項，本工具範圍以外）；(2) 反向審視物理設定 — 流體可能根本係由點 2 流向點 1，方向揀錯；(3) 容差太緊，重新檢查單位（壓力一定要係 Pa，唔好同 kPa / bar 混合）。
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