單擺周期計算機（T = 2π√L/g）
單擺（simple pendulum）係一個理想化嘅擺動模型：一條無質量、無拉伸嘅繩，吊住一個點狀質點，喺重力下小角度擺動。喺小擺角（< 15°）近似下，周期 T 只取決於擺長 L 同當地重力 g，同擺錘質量、起始角度都無關。本工具立即幫你計到周期、頻率、角頻率，並提供反算功能：如果你想要 2 秒一擺嘅秒擺（seconds pendulum），需要幾長嘅擺？
請輸入有效嘅數字
周期 T
—
秒 / 擺
頻率 f
—
赫茲 (Hz)
角頻率 ω
—
弧度 / 秒
反算：指定周期所需嘅擺長
需要嘅擺長
—
採用小擺角近似（< 15°）下嘅理想單擺公式 T = 2π√(L/g)，誤差約 0.1%。大擺角時要用橢圓積分修正。
公式
T = 2π · √(L / g) // 周期 (秒) f = 1 / T // 頻率 (Hz) ω = √(g / L) = 2π / T // 角頻率 (rad/s) L = g · (T / 2π)² // 反算擺長 標準重力 g₀ = 9.80665 m/s² // BIPM SI Brochure
- · 小擺角近似：當擺角 ≤ 15° 時，T = 2π√(L/g) 嘅誤差 < 0.5%。擺角去到 60°，誤差會去到約 7%；要更準就要用橢圓積分 K(sin(θ/2)) 修正。
- · 擺長 L 係由懸掛點到擺錘質心（centre of mass）嘅距離，唔係到擺錘底部。實驗室常用「物理擺」（剛體擺）公式 T = 2π√(I/mgd)，呢個工具只處理理想化嘅單擺。
- · 質量無關：T 唔包括 m，所以同款擺鐘換鉛錘定銅錘，周期都一樣。Galileo 1602 年喺 Pisa 大教堂觀察到嘅就係呢個現象。
- · 重力預設：地球標準 g₀ = 9.80665 m/s²（BIPM 1901）；月球表面 ≈ 1.625 m/s²（NASA Apollo 任務數據）；火星 ≈ 3.711 m/s²；木星雲頂 ≈ 24.79 m/s²。香港實際 g ≈ 9.788 m/s²（差 < 0.2%）。
- · 秒擺（seconds pendulum）：T = 2 s（每秒滴答一次）嘅擺，喺 g₀ 下需要 L ≈ 0.9939 m。17 世紀 Huygens 用佢嚟定義「秒」，後來成為米嘅其中一個候選定義。
- · 應用：傳統落地鐘（grandfather clock）就係用 ~0.9939 m 嘅單擺做時間基準；Foucault 擺長 67 m（巴黎先賢祠）；地震儀、平衡擺、量重力嘅 Kater 擺都係從呢條公式發展出嚟。
- · 資料來源：Halliday, Resnick & Walker《Fundamentals of Physics》第 15 章；BIPM SI Brochure（第 9 版）。
常見問題
點解單擺周期同擺錘質量無關？
因為重力對擺錘嘅回復力 F = m·g·sinθ 同擺錘加速度 F = m·a 入面嘅 m 會互相抵消 — 即係 a = g·sinθ，同質量無關。所以同款擺鐘換鉛錘定銅錘，只要長度一樣，周期都一樣。Galileo 1602 年喺 Pisa 大教堂觀察吊燈擺動嗰陣就發現呢個現象，後嚟由 Huygens 喺 1656 年造出第一個擺鐘。
想做一個「一秒一擺」（秒擺）嘅擺鐘，擺長要幾長？
一秒一擺（即周期 T = 2 s，因為每個完整周期係左右各擺一次）嘅秒擺，喺地球標準重力 g₀ = 9.80665 m/s² 下需要嘅擺長係 L = g·(T/2π)² ≈ 9.80665 × (2/2π)² ≈ 0.9939 m。呢個就係傳統落地鐘嘅擺長根據。如果擺鐘走得快或慢，調節螺絲就係用嚟改變呢個有效長度。
單擺喺月球上會點？比地球慢幾多？
月球表面重力大約係 1.625 m/s²，係地球嘅 1/6。因為 T ∝ 1/√g，月球上同款擺嘅周期會係地球嘅 √(9.80665 / 1.625) ≈ 2.46 倍。所以一個喺地球擺 1 秒一擺嘅擺鐘，搬上月球會變成 2.46 秒一擺，鐘會慢成 2.5 倍 — 阿波羅太空人都有用單擺實驗驗證過月球重力。
擺角好大（例如 45°）嘅時候，公式仲準唔準？
小擺角近似 T = 2π√(L/g) 嘅誤差會隨擺角增大：擺角 5° 誤差 < 0.05%，15° 約 0.5%，30° 約 1.7%，45° 約 4%，60° 約 7.3%，90° 約 18%。要準確計算要用第一類完全橢圓積分 K(sin(θ/2))：T_真 = T_小 × (2/π)·K(sin(θ/2))。實際擺鐘為咗準確都會故意做細擺角（通常 1°–3°）。
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