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科學

牛頓冷卻定律計算機

牛頓冷卻定律（Newton 1701）描述物體溫度向環境溫度指數逼近：T(t) = T∞ + (T₀ − T∞)·e^(−kt)。輸入初溫、環境溫度、冷卻常數 k 同經過時間，即時得到當下溫度、剩餘溫差、已冷卻百分比，以及半冷時間 τ½ = ln 2 / k 同時間常數 τ = 1/k；亦可輸入目標溫度反算需時。物理單位一致即可（°C、°F、K 都可以；k 同 t 互為倒數單位）。

溫度 T(t)

—

—

相關數據

剩餘溫差 (T − T∞)
—
已冷卻百分比
—
半冷時間 τ½ = ln 2 / k
—
時間常數 τ = 1 / k
—

到達目標溫度所需時間 —

到達時間只適用於目標溫度位於初溫同環境溫度之間（即朝環境溫度方向）。

公式

T(t) = T∞ + (T₀ − T∞) · e^(−k · t)

公式

T(t) = T∞ + (T₀ − T∞) · e^(−k · t) τ½ = ln 2 / k τ = 1 / k t_to_target = (1/k) · ln((T₀ − T∞)/(T_target − T∞))

常見問題

冷卻常數 k 點樣決定？有冇典型值？

k 並非材料屬性，而係物體形狀、面積、密度、比熱同周圍對流條件嘅綜合結果，因此每個情境都要實測。常用粗略值（單位 /min）：一杯熱咖啡（陶瓷杯）≈ 0.03–0.06；金屬鍋熱湯 ≈ 0.05–0.10；玻璃水樽於室溫 ≈ 0.01–0.02；有蓋保溫杯 ≈ 0.002–0.005。實測方法：量測初溫、間隔幾分鐘再量測一次，將兩個數值同環境溫度代入 k = ln((T₁ − T∞)/(T₂ − T∞))/Δt 即可推算出該情境嘅 k。

咖啡可以幾時飲？我用 90 °C 沖啡，室溫 22 °C，幾時降到 60 °C？

用本工具，輸入 T₀ = 90、T∞ = 22、k ≈ 0.05 /min、目標 60 °C，得到 t = (1/0.05)·ln((90−22)/(60−22)) = 20·ln(68/38) ≈ 11.6 分鐘。換句話講，約 12 分鐘已可入口。實際時間視乎杯型、表面積、是否有蓋同初溫差異 — 第一次飲之前可實測 k 校正：飲完一杯後試吓量度幾個時間點嘅溫度，自己嘅 k 就清楚晒。

半冷時間 τ½ 同時間常數 τ 有咩分別？

兩者都係描述指數衰減速度，但量度嘅「閾值」不同。τ½ = ln 2 / k ≈ 0.693/k 係溫差降到一半（50%）所需時間，類比放射性「半衰期」嘅概念，較易直覺理解。τ = 1/k 係溫差降到 1/e ≈ 36.8% 所需時間，係工程同物理學中用作描述指數系統嘅標準特徵時間。τ ≈ 1.443·τ½；任何指數衰減過程都成立。

牛頓冷卻定律幾時會唔準？

主要喺三種情況：(1) 溫差非常大（譬如熔融金屬冷卻或火爐內），輻射熱依 Stefan-Boltzmann 定律隨 T⁴ 變化，遠較對流主導，必須改用較完整嘅熱傳導方程；(2) 物體大或熱導率低（如厚石、大塊木材），內部溫度不再均勻，「集總」假設失效，要解偏微分形式（Biot 數 > 0.1）；(3) 環境條件變化（風速增加、放置位置改變），令 k 唔再恆定，需要分段計算或用時變模型。對日常物件喺室溫範圍內，牛頓定律一般已足夠準確。

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