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科學

終端速度計算機（自由落體 + 空氣阻力）

當物體向下加速到「空氣阻力 = 重力」嗰一刻，加速度變零、速度唔再增加 — 呢個極限速度就係終端速度 v_t = √(2mg / (ρ·A·Cd))。輸入物體質量 m、迎風截面積 A、阻力係數 Cd、空氣密度 ρ 同重力加速度 g，工具計算終端速度（m/s / km/h / mph / ft/s 都有），同時用 v(t) = v_t·tanh(g·t / v_t) 計埋由靜止落到 50% / 90% / 99% v_t 所需嘅時間。內建 6 種典型物件（belly-down 跳傘者、headfirst 跳傘者、雨滴、棒球、保齡球、羽毛）按一下就可以對比 — 你會發現「物件越大越快」其實要小心：增加面積會降速，增加質量先會加速。

Common scenarios (click to apply)

Terminal velocity

Terminal velocity v_t

—

—

Approach from rest to v_t

Characteristic time τ = v_t / g

—

Time to 50% v_t

—

Time to 90% v_t

—

Time to 99% v_t

—

v(t) = v_t·tanh(g·t/v_t); t(f%) = (v_t/g)·atanh(f). Not valid in the viscous / low-speed regime (peanut-sized seeds, bacteria in the brain).

Formula

v_t = √( 2 · m · g / (ρ · A · Cd) ) 終端速度 v(t) = v_t · tanh(g · t / v_t) 由靜止下落嘅瞬時速度 τ = v_t / g 特徵時間 t(f%) = τ · atanh(f) — atanh(0.5)=0.549, atanh(0.99)=2.647

Frequently asked

物體會唔會跌得超過 v_t？

由靜止落落嚟唔會 — v(t) = v_t·tanh(g·t/v_t) 嘅 tanh 永遠 < 1，所以速度永遠喺 v_t 以下。但係如果一開始就已經有初速 v₀ > v_t（例如跳傘者由高速飛機跳出嚟、或者由低密度高空進入濃密低空），物體會「減速到 v_t」而唔係加速，加速度方向相反。實際 Felix Baumgartner 嘅 Red Bull Stratos 跳傘正係呢個情況：喺 39 km 高度起跳，ρ 細，v_t 高達 ~370 m/s；落到 ~25 km 時 ρ 已經升咗 → v_t 跌到 ~100 m/s，所以佢喺呢段時間係減速。

兩個一樣形狀但唔同重量嘅物體，邊個跌得快？

重嘅嗰個跌得快。Galileo 啲名言「真空中所有物體同時落地」係指冇空氣阻力時 — 真空裏面終端速度根本唔存在。喺空氣中 v_t = √(2mg/(ρACd))，質量 m 大 → v_t 大；同形狀 → A 同 Cd 一樣。所以兩個鐵球（一大一細）喺空氣中，大嘅會稍微跌快啲。喺日常經驗中，呢個差別細到察覺唔到（要好高地方先睇到），但係喺極端對比中好明顯：羽毛 vs 高爾夫球同時放手，高爾夫球緊跌好多 — 因為佢嘅 m/(A·Cd) 比羽毛大幾百倍。

貓由高樓跌落嚟點解仲未必死？

兩個原因。(1) 貓有相當有效嘅伸展反應 — 跌落時佢哋會擺出 "flying squirrel" 姿勢，主動增大迎風面積 A，從而降低 v_t（典型貓嘅 v_t 約 25 m/s，遠細過人類）。(2) 貓嘅腳骨同肌肉吸收衝擊嘅能力相當高，落地時可以分散撞擊到四肢。1987 紐約獸醫學報 (Whitney & Mehlhaff) 經典研究發現：7 樓以上跌落嘅貓死亡率反而比 4–6 樓低 — 因為更高處跌嘅貓有時間達到 v_t 之後放鬆肌肉、攤大身體；而 4–6 樓跌嘅貓仲喺加速階段、肌肉緊繃、落地嘅瞬間更難卸力。雖然咁，貓「九命」係比喻 — 跌嘅高度太高（30 樓以上）依然有顯著死亡率。

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