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科學

克卜勒第三定律（軌道週期）計算機

克卜勒第三定律話我哋知，軌道週期 T 嘅平方同軌道半長軸 a 嘅立方成正比，比例常數係 4π²/(G·M)。輸入中心天體質量 M（太陽、地球或自訂）同半長軸 a 就可以推算行星、衛星或太空船嘅軌道週期 T；或者調轉揀「由 T 求 a」就可以由已知週期反推軌道半徑。

結果

—

—

其他單位

分鐘
—
小時
—
日
—
年（儒略年）
—
平均軌道速度
—

公式

T = 2π · √(a³ / (G · M))

採用 CODATA 2018 推薦值 G = 6.6743 × 10⁻¹¹ m³·kg⁻¹·s⁻²，1 AU = 1.49598 × 10¹¹ m。假設為理想兩體運動且環繞天體質量 m ≪ M（適合行星 / 衛星 / 太空船）。橢圓軌道用半長軸 a；圓形軌道 a 就等於軌道半徑。實際真實周期會因攝動（其他天體吸引、相對論修正等）有輕微偏差。

公式

T = 2π · √(a³ / (G · M)), 逆解 a = ∛(G · M · T² / (4π²))

常見問題

點解地球公轉一年正正係 365.25 日？

克卜勒第三定律 T = 2π·√(a³/(G·M)) 入面，當 a = 1 AU (1.49598 × 10¹¹ m)、M = M☉ (1.989 × 10³⁰ kg)，計出 T ≈ 3.156 × 10⁷ 秒 ≈ 365.25 日。歷史上儒略年（Julian year）就直接定義為 365.25 日，作為天文常用嘅時間單位（如光年）。NASA 引用嘅地球恆星週期 (sidereal year) 係 365.256 日，誤差來自 (a) 地球本身嘅質量輕微提高有效 G·(M+m)、(b) 其他行星嘅攝動。本工具用嘅係兩體理想化，所以結果同 NASA 嘅 365.25 日吻合。

點解地球同步衛星嘅週期係 23 小時 56 分，唔係 24 小時？

一個「同步」衛星係要同地球嘅自轉同步，而地球自轉一周相對遙遠恆星只需要 23 小時 56 分 4 秒（即一個恆星日 sidereal day）。24 小時係太陽日（solar day），多咗嗰 4 分鐘係因為地球同時繞太陽公轉，每日多行 ~1°，要再轉多嗰 ~1° 太陽先返回正上空。所以 GEO 衛星嘅軌道週期應該對齊恆星日；用本工具輸入 23.9345 小時、M = M⊕，可以推算出 a ≈ 42 164 km（即海拔 35 786 km），呢個就係 ITU 同 GEO 衛星嘅標準高度。

咁如果係雙星系統或者衛星質量唔細，公式仲準唔準？

完整兩體公式應該用 T² = 4π²·a³ / (G·(M + m))，即係用兩個天體嘅總質量。當 m / M < 0.001 時誤差 < 0.05%（地月系統 m/M ≈ 0.0123，所以理想公式同 NASA 數據相差約半個百分比）。對於行星—太陽系統都絕對安全；雙星或者冥王星—Charon 等近似等質量系統就要明確用 (M + m) 並考慮兩個天體繞共同重心嘅運動。

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