半衰期／指數衰減計算機
半衰期係指某個物質衰減到原本一半所需嘅時間，廣泛用於核物理、藥理學同放射性測年。本工具用同一條指數衰減公式解四種未知數：剩餘量、起始量、流逝時間、半衰期 — 揀「要解咩」、填其餘三個，即刻計到答案，仲會顯示衰減百分比、已過幾多個半衰期、衰減常數 λ 同平均壽命 τ，配埋一條決定 SVG 衰減曲線。時間單位可揀秒、分鐘、小時、日、年，方便由咖啡因（半衰期約 5 小時）一路用到碳-14（半衰期約 5,730 年）。
要解邊個未知數
請填齊另外三個輸入（必須係非負數，半衰期同起始量必須 > 0；剩餘量唔可以超過起始量）。
結果
50
- 剩餘百分比
- 50.00 %
- 已過半衰期
- 1.000
- 衰減常數 λ = ln 2 / T½
- —
- 平均壽命 τ = T½ / ln 2
- —
衰減曲線（剩餘比例 vs 時間）
公式
N(t) = N₀ · (½)^(t / T½) = N₀ · e^(−λ · t) λ = ln 2 / T½ τ = T½ / ln 2
t 同 T½ 必須用同一時間單位，本工具揀單位後同步套用。剩餘量、起始量為任意「量」（質量、放射性活度 Bq、藥物濃度等），單位顯示為「單位」。
公式
N(t) = N₀ · (½)^(t / T½) // 基本指數衰減 N(t) = N₀ · e^(−λ · t), λ = ln 2 / T½ // 等價形式 T½ = t · ln 2 / ln(N₀ / N) // 由衰減觀測解半衰期 t = T½ · log₂(N₀ / N) // 由剩餘量解流逝時間 τ = T½ / ln 2 // 平均壽命（mean lifetime）
- · 半衰期同物質嘅起始量無關 — 一公斤碘-131 同一克碘-131 都係 8.025 日後剩番一半。呢個係指數衰減嘅核心特徵：每經過一個半衰期，剩餘量都係之前嘅一半，與絕對數值無關。
- · 時間單位喺本工具中由你揀，但 t 同 T½ 必須用同一單位 — 工具假設兩格輸入用同一個下拉選嘅單位（秒、分、小時、日、年）。例如想計核磁共振用嘅 18F（T½ = 109.77 min），就揀「分鐘」單位。
- · 常用核素半衰期參考：碳-14 ≈ 5,730 年（考古／碳測年）；氚（³H）≈ 12.32 年；鉀-40 ≈ 1.25 × 10⁹ 年；銫-137 ≈ 30.17 年；碘-131 ≈ 8.025 日；氟-18 ≈ 109.77 分鐘；技-99m ≈ 6.01 小時。資料來源：NIST Atomic Weights & Isotopic Compositions database。
- · 藥物消除半衰期（terminal t½）參考：咖啡因 ≈ 5 h；酒精 ≈ 0.7 h（零階動力學，呢個工具只係近似）；對乙酰氨基酚（paracetamol）≈ 2 h；布洛芬（ibuprofen）≈ 2 h；地西泮（diazepam）≈ 20–80 h；氟西汀（fluoxetine）≈ 1–4 d。一般 4–5 個半衰期後血藥濃度降至 < 5 %（即「臨床上排清」）。資料：Goodman & Gilman 13 版。
- · 碳-14 測年原理：活體死亡後 ¹⁴C 唔再補充，只衰減。經過 11,460 年（2 個半衰期）剩餘 25%；30,000 年後剩 ~2.6%，超過 50,000 年後 ¹⁴C 信號太弱、要轉用其他方法（鉀-氬、鈾-鉛等）。
- · 幾個易錯位：(1) 半衰期 ≠ 平均壽命 τ — τ = T½ / ln 2 ≈ 1.443 · T½；(2) 衰減常數 λ 嘅單位係「1 / 時間」，唔係百分比；(3) 「衰減 50%」即係「剩 50%」，唔好同「衰減咗 1 個半衰期，再衰減 50%」混淆 — 後者係 75% 衰減總量。
- · 本工具用標準 IEEE 754 浮點，極端比例（例如 N/N₀ < 1e-15）可能會失去精度；若要解超長時間（> 60 個半衰期）建議改用對數計算或符號數學軟件。
- · 局限：本公式只描述一階指數衰減。若涉及多階衰變鏈（如鈾系）、零階藥物代謝（高濃度酒精）、或飽和酶系統，要用更完整嘅 Bateman 方程或 Michaelis-Menten 方程，唔可以直接套半衰期。
常見問題
飲咗杯雙倍特濃 (200 mg 咖啡因)，幾耐之後血液裏面仲剩番 25 mg？
咖啡因平均消除半衰期約 5 小時（Goodman & Gilman 13e）。由 200 mg 跌到 25 mg 即係衰減 87.5%（剩 1/8 = 三個半衰期），即係 ≈ 15 小時。所以下午 3 點飲，到第二日朝早 6 點先排到差唔多。本工具揀「解流逝時間」、起始量 200、剩餘 25、半衰期 5 小時 → 自動畀返 15.0 h。注意：個人消除速率受年齡、肝功能、避孕藥、吸煙影響，差距可以由 1.5 至 9.5 小時。
半衰期同平均壽命（mean lifetime, τ）有咩分別？
半衰期 T½ 係「剩番一半所需時間」；平均壽命 τ 係「每粒粒子平均能夠存在嘅時間」（即指數分布嘅期望值）。兩者關係係 τ = T½ / ln 2 ≈ 1.443 · T½，所以 τ 永遠長過 T½ 約 44%。例如碘-131 嘅 T½ = 8.025 日，但 τ ≈ 11.58 日。物理學家做衰變率計算多用 λ = 1/τ；化學／藥理／生物則慣用 T½ — 因為「半衰期」直觀好多，方便估算「再過幾耐就剩番幾多」。本工具兩個都會列出畀你做交叉檢查。
為何「考古碳測年」最多只能去到約 50,000 年前？
因為碳-14 半衰期只有 5,730 年。50,000 年後 N/N₀ ≈ (½)^(50000/5730) ≈ (½)^8.73 ≈ 0.24 %，意思係要喺背景輻射雜訊中分辨咁低嘅 ¹⁴C 信號，已經接近加速器質譜（AMS）儀器嘅靈敏度極限。本工具揀「解剩餘量」可重現呢個比例。要研究更老嘅化石或岩層（百萬年級），要轉用半衰期更長嘅同位素：鉀-40 / 氬-40（K-Ar，T½ ≈ 1.25 × 10⁹ y）、鈾-238 / 鉛-206（U-Pb，T½ ≈ 4.47 × 10⁹ y）。
點解「衰減 90% 並非 1.8 個半衰期」？
直觀以為「1 個半衰期 = 50%、所以 1.8 個 ≈ 90%」係加法直覺；但指數衰減係乘法 — 每個半衰期都係乘 ½。剩 10% 即係 (½)^n = 0.1，解 n = log₂(10) ≈ 3.32 個半衰期，唔係 1.8 個。同理：剩 1% 要 6.64 個半衰期；剩 99%（衰減 1%）要 0.0145 個。臨床上「4–5 個半衰期後排清」就係嚟自呢個對數關係：5 × ½ = (½)^5 = 1/32 ≈ 3.1%。
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