PERT 三點估算計算機
PERT(Program Evaluation and Review Technique)三點估算係專案管理嘅標準工具:對任一任務畀出樂觀 (O)、最可能 (M)、悲觀 (P) 三個估計,工具會用加權平均 E = (O + 4M + P)/6 計期望值,並用 (P − O)/6 估算標準差 σ,輸出 1σ、2σ、3σ 嘅信心區間 — 用嚟做工期、成本、研發人時嘅基準預測。PMBOK 7th 同 PRINCE2 都列為核心估算技術,亦適用於個人工作排期。
All three estimates must be valid numbers.
Expected E
7
(O + 4M + P) / 6
Std. dev. σ
1.667
(P − O) / 6
Variance σ²
2.778
σ²
Triangular mean
8
(O + M + P) / 3
1σ range (≈ 68%)
5.33 – 8.67
E ± σ — about two-thirds of outcomes
2σ range (≈ 95%)
3.67 – 10.33
E ± 2σ — common planning buffer
3σ range (≈ 99.7%)
2.00 – 12.00
E ± 3σ — risk worst-case envelope
Outputs share the unit of the inputs (days / weeks / dollars). The σ bands assume a normal approximation.
Formula
E = (O + 4M + P) / 6 σ = (P − O) / 6 σ² = ((P − O) / 6)² 1σ ≈ 68% : [E − σ , E + σ] 2σ ≈ 95% : [E − 2σ, E + 2σ] 3σ ≈ 99.7%: [E − 3σ, E + 3σ] (三角分佈平均 = (O + M + P) / 3,供對照)
- · O 係「一切順利」嘅最短/最低值;P 係「最壞情況」(但仍合理可達);M 係「最可能」單一值。三者必須符合 O ≤ M ≤ P,否則工具會提示。
- · E 嘅 4× 權重來自 PERT beta 分佈假設「眾數 (M) 嘅權重大過兩端」。當 M 偏離 (O+P)/2,E 同三角平均會分歧 — 工具會同時顯示三角平均作為靈敏度檢查。
- · σ 嘅 ÷6 來自「P − O ≈ 6 個標準差」假設(涵蓋約 99.7% 嘅 beta 分佈質量)。對單一任務可能略低估極端值,但對 N 個獨立任務 σ_total = √Σσᵢ²,整體預測力可靠。
- · 1σ、2σ、3σ 信心區間採用正態近似 — 對單一任務嘅 beta 分佈準確度有限(偏度高時誤差最大),但專案經理通常已習慣用呢個簡化來做 buffer 規劃。
- · 常見錯誤:把「最樂觀 O」當作「平均最快」或「最悲觀 P」當作「歷史最慢」。PERT 要求 O 同 P 對應 ~1% 同 ~99% 嘅尾端,唔係樣本極值;如果用樣本極端值就會嚴重低估 σ。
- · 應用:項目工期估算(CPM/關鍵路徑 + PERT σ)、研發成本預估、Monte Carlo 抽樣嘅 baseline 分佈、敏感度分析(將 P − O 拉大/縮細睇 σ 影響)。
- · 原始來源:Malcolm, Roseboom, Clark & Fazar, Operations Research 7 (5), 1959(美國海軍北極星導彈計劃)。後續理論討論:MacCrimmon & Ryavec 1964;PMI PMBOK Guide 7th ed., §4.4.2。
Frequently asked
PERT 嘅期望值同三角分佈平均有咩唔同?應該用邊一個?
PERT 期望值 E = (O + 4M + P) / 6 對應 beta 分佈,攞「最可能值 M」嘅 4× 權重,假設眾數附近發生機率較高 — 適合任務嘅最終工期傾向接近 M、而 O/P 屬於少見尾端嘅情況。三角分佈平均 = (O + M + P) / 3 對應 piecewise-linear 概率密度,給 O、M、P 三者相等權重 — 適合「資訊唔足、唔肯定 M 是否真係最可能」嘅情況。實務上:(1) 對單一任務,PERT 預測通常偏向更保守(如 M 比中點低,E > M);(2) 兩者越接近,代表 M 越「中庸」、估算越穩;(3) 工具同時顯示,方便你以 PERT E 做 baseline、三角平均做敏感度 cross-check。
我有 20 個獨立任務,可以直接加埋每個 E 同 σ 嗎?
期望值可以直接加:E_total = ΣEᵢ。但標準差唔可以直接加 — 對「獨立」任務,方差先可以相加:σ²_total = Σσᵢ²,再開根號攞 σ_total = √Σσᵢ²。例子:5 個任務每個 σ = 2 日 → σ_total = √(5 × 4) = √20 ≈ 4.47 日(唔係 10 日)。呢個就係中央極限定理:N 個獨立隨機變數加埋,分佈趨向常態,σ 增長率 ~ √N。所以越多獨立任務並行做,整體 σ 比簡單相加細好多 — 但前提係「真係獨立」。如果任務之間有強相關(例如同一個人做、同一個 vendor 延誤)就唔成立,要做 Monte Carlo 或者加 covariance 項。
揀 O 同 P 嘅時候,係咪攞「歷史最快」同「歷史最慢」?
通常唔應該 — PERT 嘅 O、P 對應 beta 分佈嘅 ~1%、~99% 尾端(或者話「實際只有 1% 機會比 O 更快/比 P 更慢」),而唔係歷史樣本極值。歷史樣本(特別係 N < 30)一般唔覆蓋真實尾端,會傾向低估 σ。實務做法:(1) 訪問經驗豐富嘅執行者,問「假如一切順利會幾耐?」(O)同「假如出現可預見最壞情況會幾耐?」(P);(2) 用「常見障礙清單」推斷 P(例如 vendor 延誤、人手調動);(3) 對保守估算,PMI 建議 P − O 至少 = 2 × 一般經驗,避免擠縮 σ。如果一定要用樣本,可以攞 5th 同 95th percentile 作為 O / P,會比 min / max 更合理。
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