永續年金現值計算機（Perpetuity Present Value）
輸入每期固定現金流 C 同每期折現率 r，工具用永續年金公式 PV = C / r 計現值；若有增長率 g（例如股息每年增長 4%），則切換為 Gordon 增長公式 PV = C / (r − g)（要求 r > g 先收斂）。亦支援「期初付」嘅 perpetuity due，現值乘以 (1 + r)。同步顯示有效折現率同現值對現金流嘅倍數，方便快速感受估值合唔合理。常用於優先股、永續債（consols）、長期租約資本化同股息折現模型。
Enter a valid cash flow, discount rate and growth rate.
Present value (PV)
—
PV = C / r
Amounts shown in USD for clarity; the formula is currency-agnostic — the result is in the same unit as C.
Formula
水平永續年金：PV = C / r (r > 0) 增長型永續年金（Gordon）：PV = C / (r − g) (r > g) 期初付（perpetuity due）：PV_due = (1 + r) · C / r
- · 永續年金假設現金流永遠唔停 — 喺實務中只係「夠耐」嘅近似（一般 30 年後嘅折現現值已經細到可忽略）。
- · 折現率 r 必須同現金流頻率匹配：年現金流配年率，月現金流配月率。混用會放大或縮細估值幾倍。
- · 增長型公式（Gordon）對 r 同 g 嘅差異非常敏感：g 由 3% 升到 4% 而 r 維持 6%，估值會由 C/3% 升到 C/2% — 多咗 50%。
- · 當 r ≤ g 時級數發散，公式無意義。市場永遠唔會接受「永遠以高於折現率嘅速度增長」嘅資產 — 工具會明確報錯。
- · 優先股、政府永續債（如英國 consols）係教科書例子；長期商業租約用 NOI / cap rate 都係同一條公式嘅變形。
- · 名義 vs 實質：用名義現金流配名義折現率；用實質（剔除通脹）現金流配實質折現率。唔可以溝亂。
Frequently asked
永續年金喺現實世界真係存在嗎？
近似存在。英國政府嘅 Consols（首次發行於 1751 年）一直到 2015 年先全部贖回，係幾百年嘅近永續債。優先股冇到期日，理論上派息直至公司結業，估值上經常當成永續年金。商業大廈嘅長期租金（用 NOI / cap rate 估值）亦本質係 PV = C / r 嘅變形。但所有「現實永續」其實都有條款終止嘅可能（贖回、違約、業權更替），所以 PV = C / r 永遠係簡化模型，俾估值快速錨；認真估值仲要做 sensitivity analysis。
點解永續年金有確定嘅現值，但係無限多嘅錢？
因為現金流以幾何級數縮細：第 n 期嘅 C 折現返今日只值 C / (1 + r)ⁿ，當 n → ∞ 呢個值趨近 0。Σ C / (1 + r)ⁿ 由 n = 1 加到無限大係幾何級數，比例 1/(1 + r) < 1 所以收斂到 C / r。直覺上：30 年後嘅 100 蚊喺 5% 折現率下只值今日嘅約 23 蚊；100 年後就只值 0.76 蚊。後面嘅尾巴幾乎無貢獻。
點解 Gordon 公式要求 r > g？
因為當增長率 g ≥ 折現率 r 時，每期現金流嘅折現現值唔再縮細 — 反而保持唔變甚至越來越大，總和會發散到無限大。經濟意義上：冇任何資產可以永遠以高於市場要求回報率嘅速度增長，否則需要嘅資本會超過全世界經濟總量。所以實務 Gordon 模型只適用於成熟、低增長階段嘅企業（g 通常細過長期 GDP 增長率）；對高速增長期應該分階段估值，先用 DCF 估明確期間嘅現金流，再用 Gordon 估「終值」嘅穩定期。
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