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教育學業

多項選擇題隨機猜中期望分數計算機

依二項分佈計算純粹靠隨機猜可以攞到嘅 *期望分數*、*標準差* 同 *完整分數分佈*。輸入題目數量、每題選項數、答對得分、答錯扣分，即可知道：(1) 純猜嘅平均分；(2) 實際分數一般落喺幾多 ± 幾多區間；(3) 攞到 0 分／一半／滿分嘅機率；(4) 對應扣分機制下嘅猜題策略建議。內建 SAT 舊制 (1995–2016)、GRE、AP 舊制、HKDSE Paper 1A、是非題等預設按鈕。

預設：

隨機猜中期望分數

10.00

分（線性期望值）

建議策略

建議：純猜中性 / 跳過

隨機猜期望值 ≈ 0（SAT 舊制設計咁），策略上 *只猜你能剔走至少一個選項* 嘅題目。

每題期望分

0.250

= E[總分] ÷ 題目數，用嚟同其他題型比較。

標準差 σ

2.74

實際分數會喺期望值 ± σ 之間波動（68% 規則）。

分數分佈（概率 ≥ 0.1%）

靠隨機猜得到呢個答對數量嘅概率，依二項分佈 Bin(n, 1/k)。

答對 概率 總分

基於二項分佈：每題正確概率 p = 1/選項數，答對數 X ~ Bin(n, p)。SAT 舊制 (1995–2016) 同 AP (1985–2010) 嘅 −0.25 扣分專門設計到 *隨機猜期望值 = 0*，鼓勵唔識先要 skip；2016 之後 SAT、GRE、HKDSE 大多取消扣分，因此 *永遠都應該猜*。詳見 Holland & Hu, ETS Research Report 2014, "Number-Right vs. Formula Scoring"。

公式

設 n = 題目數，k = 每題選項數，c = 答對得分，w = 答錯扣分（≤ 0）。 p = 1 / k 每題猜中嘅概率 X ~ Binomial(n, p) 猜中題數嘅分佈 E[X] = n · p 平均猜中題數 E[Score] = n · p · c + n · (1 − p) · w 期望分數 Var[Score] = n · p · (1 − p) · (c − w)² 分數方差 P(X = j) = C(n, j) · pʲ · (1 − p)ⁿ⁻ʲ 恰好 j 對嘅概率

常見問題

我考試剩 2 分鐘有 10 題未答，應該全部填 C 嗎？

**99% 嘅情況：是。但唔好「全部 C」，應該 *隨機散開*；理由如下**。**(1) 數學上一樣** — 每題正確率仍係 1/4，平均期望分數同隨機散開一致；**(2) 試卷設計者刻意打亂正解分佈** — 不過如果出題者懶或者 keys 有 leak，*真實 keys 唔會均勻 — A B C D 經常會偏向 B 或者 C 多 d*；**(3) 戰術 hack** — 如果你信高機率 *B / C 多*，可以全填 B 或 C 而唔填 A / D；統計學家 Bernoulli 1713 已研究呢類問題，現代 NCEES PE Exam 分析顯示 keys 略偏 B (~ 27%) 同 C (~ 27%)；A 同 D 各 ~ 23%。**結論**：如果只有兩分鐘，*全部填 B 或者全部填 C*，期望分仲微高啲；確保「絕不留白」。

我見有人話「靠純猜可以攞到 25% 通過率」，係真係假？

**通常 *半真半假*：得到 25% 平均分係期望值，但 *attendance pass 通常需要遠高於期望值*，純猜中嘅概率好低**。**用本工具計**：(a) HKDSE 1A 50 題 × 4 選 = E[12.5 對]，σ ≈ 3.06；通過 30 對 = 5.7 σ 之外，*概率 ≈ 10⁻⁹*，*絕無可能*；(b) AP 多選 60 題 × 4 選 = E[15]，通過 40 對需 8 σ，*同樣不可能*；(c) 但 *25% 嘅多選題*，要正當通過 *仍需識至少 60–70% 嘅題目*；(d) 反例：*小型測驗*（10 題 × 2 選）= E[5]，通過 6 分嘅概率 ≈ 38%，*真係可以靠猜過*。**結論**：題目越多、選項越多，*純猜過關嘅概率指數式下跌*；廣告語「靠猜過關」係小型短測有效，大型公開試極不可能。

SAT、GRE、AP、HKDSE 點解扣分機制咁唔同？學考策略應該點調整？

**因為扣分機制反映 *出題者想 measure 咩*：知識 vs. 判斷力 vs. risk tolerance**。**逐個睇**：(a) *Pre-2016 SAT / pre-2011 AP*：扣 0.25 → 期望 = 0，*測試「判斷自己有冇知識」*。策略：唔識就 skip，能剔 1 個選項先猜；(b) *2016+ SAT / GRE / HKDSE / 多數現代考試*：無扣分，*純測知識*，亦無謂玩心理戰。策略：*絕對唔留白，全部填晒*；(c) *研究院／真實工作模擬*：有時用 *guessing penalty + partial credit*，*測試 calibrated uncertainty*（你係咪知自己唔知）。常見於醫學執照、駕駛筆試；(d) *負分扣到 = −1/(k−1)*（如 4 選 1 扣 1/3）：期望 = 0 嘅 *中性扣分*，少見。**統一策略總結**：用本工具計每題期望，> 0 → 全部猜，= 0 → 純猜中性，< 0 → 留白；能剔走 ≥ 1 個選項都係 +EV。

σ = 3.06 即係實際分有幾大波動？我可唔可以靠 σ 預測 worst case？

**σ 量度 *單次純猜* 結果嘅波動範圍，可大致用 68/95/99.7 規則估計 worst case**。**具體**：對 HKDSE 1A 50 題 × 4 選，E = 12.5、σ ≈ 3.06。意思：(a) *68%* 嘅情況實際分落 [E − σ, E + σ] = [9.4, 15.6]；(b) *95%* 落 [E − 2σ, E + 2σ] = [6.4, 18.6]；(c) *99.7%* 落 [E − 3σ, E + 3σ] = [3.3, 21.7]。即係 *worst case ≈ 3 對* 都仲喺合理範圍；*best case ≈ 22 對* 但需要極好彩。**進階用途**：(1) *Calibrate expectation* — 唔好以為純猜 = 0 對；應該 *至少寄望平均值，亦預備差到 1.5 σ 之下*；(2) *變更策略嘅損益分析* — 如剔走 1 個選項後 σ 略升但 E 大升，淨期望增量 >> σ 提升 → 絕對值得；(3) *多場考試規劃* — 用 σ 估「至少有一場炒晒」嘅機率，可決定要唔要重考預備。**注意**：σ 適用 *純猜*，*你自己有 partial knowledge 嘅題* 分佈會更尖、σ 更細。

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Stanine 標準九分計算機

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由原始分數、平均值同標準差計算 sten（標準十分，1–10）同對應百分位，常用於人格及心理測驗評分。

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