常態分佈評分（Bell Curve）計算機
常態分佈評分（俗稱 bell curve 或 grading on a curve）係一種以全班分數嘅平均數同標準差為基準嘅相對評分方法。輸入每位學生嘅原始分，工具會即時計算 μ、σ、每位學生嘅 z-score 同百分位，並按你揀嘅分界（經典 ±0.5σ／±1.5σ、較嚴 ±1σ／±2σ 或寬鬆 0／±1σ／±2σ）派發 A–F 等級。
平均分 μ
—
標準差 σ
—
採用全班為母體（÷ N）。
分數跨度
—
min → max
等級人數分佈
經典分界：z ≥ 1.5 → A；0.5 ≤ z < 1.5 → B；−0.5 < z < 0.5 → C；−1.5 < z ≤ −0.5 → D；z ≤ −1.5 → F（理論常態人口比例約 7 / 24 / 38 / 24 / 7%）。
每位學生嘅 z 分數、百分位同等級
| # | 原始分 | z 分數 | 百分位 | 等級 |
|---|---|---|---|---|
| — | ||||
本計算機只做曲線轉換，不會調整原始分；採用 Abramowitz–Stegun 7.1.26 erf 近似計算常態分佈百分位。
公式
μ = Σxᵢ / N // 平均分 σ = √(Σ(xᵢ − μ)² / N) // 標準差（母體） zᵢ = (xᵢ − μ) / σ // 標準分 百分位ᵢ = Φ(zᵢ) × 100 // Φ 為標準常態分佈 CDF 經典分界：A z≥1.5；B 0.5≤z<1.5；C −0.5<z<0.5；D −1.5<z≤−0.5；F z≤−1.5
- · 使用母體標準差（÷ N），因為班級本身就是「母體」，唔係從中抽樣。若要當作樣本用樣本標準差（÷ N−1），同學人數越大兩者越接近。
- · 經典 ±0.5σ／±1.5σ 分界對應理論常態人口比例 ≈ 7 / 24 / 38 / 24 / 7 %，亦係多本教育測量教科書（如 Linn & Gronlund「Measurement and Assessment in Teaching」）嘅標準起點。
- · 較嚴 ±1σ／±2σ 對應理論比例 ≈ 2 / 14 / 68 / 14 / 2 %（多大專、研究所統計課）。寬鬆 0 σ／±1σ／±2σ 對應 16 / 34 / 34 / 14 / 2 %（部分人文／創意科）。
- · 百分位採用 Abramowitz & Stegun 7.1.26 erf 近似計算 Φ(z)，誤差 < 1.5 × 10⁻⁷ — 對曲線評分嚟講已遠超實用精度。
- · 局限：當班級人數細（< 20）、分數離常態分佈遠（雙峰、極度偏態），bell-curve 會放大隨機波動。Bloom 1968 同 Guskey 2015 等學者更傾向用 criterion-referenced（達標式）評分。
- · 使用時：本工具只係按 z 派 A–F，並非調整原始分；如果係要將分數加減去達到某個平均（adjust），請另用 raw-score 轉換。Bates 1979 同 American Statistical Association 2018 都警告：勿將 bell curve 機械式應用於小班 / 不對稱分佈。
常見問題
「常態分佈評分」同我嘅原始分數有咩唔同？
原始分（criterion-referenced）係用一條固定分數線判斷等級 — 例如 80 分以上一定係 A。Bell curve 評分（norm-referenced）係相對嘅 — 你係咪 A 取決於同班其他人嘅表現：分數係咪夠平均數加 1.5 個標準差以上？因此同一份試卷喺唔同班嘅得分分佈會派出唔同等級。Bell curve 常用喺評核需要區分學生排名（醫學院、法學院、研究生入學考試），criterion-referenced 多用喺重視達標（中小學語數、駕駛筆試、會計專業考試）。本工具屬 norm-referenced 嘅典型實現。
邊個分界（classic／strict／lenient）最適合我嘅班級？
Classic（±0.5σ／±1.5σ）係教育測量入門課最常見嘅預設，對中型班（30–60 人）平均成績表現嘅班級最穩定。Strict（±1σ／±2σ）會擠壓中間 C 帶 — 適合學生差異大、想凸顯極端表現嘅情境（榮譽課、研究所統計）。Lenient 沒有「F」嘅單獨 mean-only cut — z = 0 為 B/C 分界，分數略高於平均即可拿 B；適合人文／創意科。實務建議：先用 Classic 跑一次，再睇分佈，如果 C 過少／過多再切換。
我班只有 8 個學生，仲可以用 bell curve 嗎？
技術上可以（本工具只需 ≥ 2 個分數），但統計上唔建議。小於 20 個樣本時，標準差對單個極端分非常敏感，可以將「邊緣 B」變「中間 A」。教育心理學文獻（Bloom 1968；Guskey 2015）普遍建議小班用 criterion-referenced grading 或固定 rubric，而非 bell curve。如果一定要用，可以考慮配合 z = 0 為 B/C 分界（lenient）令結果更接近 absolute grading，或者將多個班合併後再做 curve（共同 norm group）。
Z 分數同百分位係咩關係？
百分位 = Φ(z)，即標準常態分佈嘅累積概率。直覺對照：z = 0 → 50 %（中位）；z = 1 → 約 84.1 %（高過 84.1 % 嘅人）；z = 1.96 → 約 97.5 %（兩側 95 % 區間嘅上邊）；z = −1.5 → 約 6.7 %（典型 F 邊界）。本工具用 Abramowitz–Stegun erf 近似公式直接計，精度遠高於查表。百分位假設母體呈常態分佈，所以喺極度偏態嘅分數下「百分位 50 %」未必等於中位分。
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