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教育學業

多項選擇題隨機猜測期望分數計算機

面對唔識嘅多項選擇題，到底應該 *估* 定 *留空*？答案要視乎計分制：(a) *無扣分*（新 SAT、AP、TOEFL、IELTS、多數大學考試）— 估嘅期望值 > 0，*永遠應該估*；(b) *有扣分*（舊 SAT、GRE 1990 年代、IB 部分題型）— 要對比扣分嚴重程度。本工具入題目數、選項數 k、答啱／答錯／留空得分，即時算出 *每題隨機猜期望分*、*整份卷期望總分* 同 *±1σ 標準差*，並俾出明確「應該估／應該留空／中立」嘅策略建議，唔再迷信「直覺」。

考試制度 preset

每題隨機猜期望分

0.25

每題留空得分

0.00

全部猜期望總分

12.5

總分標準差（1σ）

±3.06

策略建議

✓ 應該估 — 隨機猜嘅期望分高過留空

純機率假設：完全冇相關知識、選項等可能。若可排除個別錯項，實際猜中機率會更高。

公式

每題隨機猜期望分： E[guess] = (1/k) × pointsCorrect + ((k−1)/k) × pointsWrong E[blank] = pointsBlank 決策：當 E[guess] > E[blank] → 應該估 整份卷期望總分 = E[guess] × n 每題變異數 (Var): Var = (1/k) × pointsCorrect² + ((k−1)/k) × pointsWrong² − E[guess]² 總標準差 σ_total = √(Var × n)

常見問題

排除一個錯誤選項之後，期望分點變？

**剔除嘅每個選項都會 *直接放大 1/(remaining)* 嘅猜中機率，可以將「中立」轉成「明顯正期望」**。**法則 step-by-step**：原本 k 個選項，剔除 m 個確定錯嘅，剩 k′ = k − m。E[guess′] = (1/k′) × pointsCorrect + ((k′−1)/k′) × pointsWrong。**舊 SAT (5 opts, +1/−0.25)**：(a) 完全唔識（k = 5）：E = 0.2 − 0.2 = *0*；(b) 排除 1 個錯（k′ = 4）：E = 0.25 − 0.1875 = *+0.0625*；(c) 排除 2 個錯（k′ = 3）：E = 0.333 − 0.167 = *+0.167*；(d) 排除 3 個（k′ = 2，二選一）：E = 0.5 − 0.125 = *+0.375*。**結論**：*能排除 ≥ 1 個選項就應該估*，呢個就係 educated guessing 嘅數學基礎。Princeton Review 嘅「process of elimination」訓練主要就係將你嘅 effective k 由 5 推到 2-3。

估晒 100 題，運氣最差可以差到幾低？

**用 ±2σ 大致蓋住 95% 結果，±3σ 蓋住 99.7%**。**例：4 選項 +1/0 100 題全估**：E = 25 分，σ = √100 × 0.1875 ≈ *4.33*。所以 95% 信心區間 ≈ *16.4–33.6 分*；99.7% ≈ *12.0–38.0*。即係話 *差到爆嘅運* 都會有 12 分；*神運* 都唔會超過 38 分，*絕無可能估到 70 分* — 因為呢個係 binomial 分佈，n = 100、p = 0.25，期望 25、變異數 18.75。**反之，若你目標 80 分**：(a) 必須 *真實答對* 至少 70 題（剩 30 題估期望 7.5），70 + 7.5 = 77.5；(b) 即係話 *80% 識+20% 估* 都未必夠 — 要 *85% + 估剩餘* 先穩妥；(c) 別將時間困喺 1 題上，整體 *識題量* 比運氣重要 5 倍以上。**Tip**：模擬考時統計自己 *猜中率* 對 *Bernoulli 0.25* 嘅 z-score，可以校準「過分樂觀／悲觀」。

考試話「題目唔答唔扣分」但「答錯扣 1/4」係咩玩法？

**呢個就係 *舊 SAT scoring*（pre-2016）以及部分大學課程沿用嘅 *Negative Marking Scheme***。**解構**：(a) 答啱 +1；(b) 答錯 −0.25；(c) 留空 0。**對 5 選項題**：盲估期望 = 0.2(1) + 0.8(−0.25) = 0.2 − 0.2 = *0*，同留空一樣 — 即係 *純隨機* 估冇 expected gain，但 *educated guess* 一定有 (見上題)。**策略**：(a) *完全冇 idea* — 留空；(b) *能排除 1+ 選項* — 立即估；(c) *時間用晒、剩低未答* — 留空（每個 wrong guess 的 −0.25 vs 留空 0，等於每 4 個錯就少 1 分）。**陷阱**：好多人對舊 SAT 嘅 negative marking 反應過度，*連 educated guess 都唔做*，結果失分。研究（Cain 2007, Educ. Meas. journal）顯示，*被教育要 always guess 的 学生 raw score 較高*；*被教育謹慎，僅在排除 2+ 才估*嘅學生 standardised score 反而更高（因為冇噪音）。

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